Question

已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.

(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1＞0，x2＞0时，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)

Answer 1

1、因为g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在（0，+∞）上是增函数，
所以当x1＞0，x2＞0时，有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)/x1，
从而x1*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x2)/x2成立，
从而x2*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/（x1+x2）+x2*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)+f(x2)
f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）．

Answer 2

第一问求导，分子由题设大于0，分母亦是，所以g(x)为增函数,第二问不妨设x1小于等于x2，由第一问f（x1+x2）/x1+x2大于f（x2）/x2，x2f（x1+x2）大于f（x2）（x1+x2），又因为f（x2）/X2大于等于f（x1）/X1，所以x2f（x1+x2）大于f（x1）x2+f（x2)x2,得证

Answer 3

第一问直接求道，不多说了，第二问，不妨设X1.>=X2，则F（X1+X2)>=(X1+X2)/X1(F(X1)=F(X1)+X2F(X1)/X1>=F(X1)+F(X2),(X1+X2>X1>=X2),证毕。