不定积分的换元
楼上解答基本正确。
图片解答已经传上，请稍等。
解：【分析】观察这四道题，发现（1）（2）都有根式，（3）有指数（4）有对数；所以都可以考虑换元法。
例6
（1）令t=√x，则x=t^2；
原不定积分=∫t/(1+t^2) dt^2=∫2t*t/(1+t^2) dt=∫[2-2/(1+t^2)] dt=2t-2arctant+C（下一步把x代回来）
=2√x-2arctan√x+C（C为任意常数）
（2）令t=³√x，则x=t^3；
原不定积分=∫1/(1+t) dt^3=∫3t^2/(1+t) dt=∫[3(t^2-1)+3]/(1+t) dt（这里采用了配凑法，注意体会）
=∫[3(t-1)+3/(1+t)] dt= 3t^2/2 -3t +3ln(t+1)+C（下一步把x代回来）
=(3/2)* x^(2/3) -3*(³√x) +3*ln(³√x+1)+ C（C为任意常数）
例8
（1）令t=√(1+e^x)，则x=in(t^2-1)；
原不定积分=∫t dln(t^2-1)=∫t* 2t/(t^2-1)dt=∫[2(t^2-1)+2]/(t^2-1) dt（配凑法）
=∫2 dt+∫2/(t^2-1) dt =∫2 dt +∫1/(t-1) dt -∫1/(t+1) dt（第二项拆成两项）
=2t +ln|t-1| -ln|t+1| +C
=2*√(1+e^x)+ln(√(1+e^x)-1) -ln(√(1+e^x)+1)+C（C为任意常数）
（2）令t=lnx，则x=e^t；
原不定积分=∫(e^t+1)/[e^(2t)+t*e^t] de^t=∫(e^t+1)/(e^t+t) dt（这里de^t=e^t dt）
=∫1/(e^t+t) d(e^t+t) （这里(e^t+1) dt= d(e^t+t)）
=ln|e^t+t|+C
=ln|x+lnx|+C（C为任意常数）
