Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC中

已知三棱柱ABC-A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC1；
（2）求平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

1.取BC1中点D，连AF、ED、DF

∵DF是△BCC1的中位线

∴DF∥C1C∥AE

DF=C1C/2=A1A/2=AE

∴AFDE是平行四边形

∴ED∥AF

∵ED∈平面BEC1

∴AF∥平面BEC1

2.取CC1中点，连DG、EG

易证平面EDG∥平面ABC

∴C1-ED-G就是所求二面角

易证ED⊥平面BCC1B1

∴∠C1DG就是所求二面角的平面角

DG=1，C1G=2

∴C1D=√5

∴cos∠C1DG=DG/C1D=√5/5