Question

求函数:f(x)=(x-1) ³√x² 的极值，求解题详解过程，谢！

Answer 1

求函数f(x)=(x-1) ³√x² 的极值

解：令f'(x)=x^(2/3)+(2/3)(x-1)x^(-1/3)=[3x+2(x-1)]/[3x^(1/3)]=(5x-2)/[3x^(1/3)=0
得唯一驻点x=2/5；x<2/5时f'(x)<0；x>2/5时f'(x)>0；故x=2/5是极小点。
极小值=f(2/5)=(2/5-1)(2/5)^(2/3)=-(3/5)[(2/5)^(2/3)]
无极大值。

追问

哪这个表怎么填啊？

追答

f(x)=(x-1)x^(2/3)；f'(x)=(5x-2)/[3x^(1/3)]

x       (-∞，0）   0              （0，2/5)                       2/5                  (2/5，1)                       1       (1，+∞)

y'          >0        +∞                   <0                               0                        >0                          1

y      (-∞，0)      0      (0，-(3/5)(2/5)^(2/3))    -(3/5)(2/5)^(2/3))  ( -(3/5)(2/5)^(2/3)，0)      0             

x       (1，+∞) 

y'           >0

y      (0，+∞)               函数图像如下：

Answer 2

解：f(x)=x*x^(2/3)-x^(2/3)=x^(5/3)-x^(2/3)
f'(x)=5/3*x^(2/3)-2/3*x^(-1/3)=[5/3*x-2/3]*x^(-1/3)

借用前面的导数推导，可以得到x=0, x=2/5时出现极值
当x=0时出现局部最大值为 f（0）=0
当x=2/5时出现局部最小值 f（2/5）=(2/5-1)*(2/5)^(2/3)= - 3*2^(2/3)*5^(-1/3) ≈ -0.32573
值得一提的是，本题的定义域是（-∞，∞），值域也是（-∞，∞），所以函数的最大值和最小值都不是上述两点，上述两点只是局部极值。

Answer 3

极值 就是 函数求导 然后等于零 得出的那个值就是极值

Answer 4

见图