Question

A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC为边,在直线AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,连接AE交BD于点M,

A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC为边,在直线AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得三角形BMN,

Answer 1

原题
如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN，试判断△BMN的形状，并说明理由．
解：△BMN为等边三角形．理由如下：
∵等边△ABD、等边△BCE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AB=DB，BE=CB，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠CDB=∠BAE，
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD，
在△ABM和△DBN中
∠BDC=∠BAE, DB=AB, ∠ABD=∠DBE
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN，
∵∠DBE=60°，
∴△BMN是等边三角形．
∴BD∥CE，
同理可证AD∥BE，
即可得△BCN∽△ACD，△ABM∽△ACE，
∴BM/CE=AB/AC, BN/AD=BC/AC
∵BC=CE，AD=AB，
∴BM=BN，
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°，
∴△BMN为等边三角形．

Answer 2

易证明：△ABM≌△DBN，得BM=BN，可证∠MBN=60°，∴是△BMN是等边三角形。
也可得∠BAO=∠BDO∴ABOD四点共圆，∴∠1=∠ADB=60°，同理∠2=60°故∠1=∠2