Question

函数连续满足的三个条件

f(x)在x0处有定义;
lim(x->x0)f(x)存在;
lim(x->x0)f(x)=f(x0)；
有那种满足第二个条件，却不满足第三个条件的例子么？极限不存在，必然不会有第三条么？

Answer 1

只要左右极限均相等，且左极限等于右极限，则lim(x->x0)f(x)存在;
例如函数 f（x）=｛ x ， x≠0
3 ， x=0
这个函数在x=0出的极限为0
但lim(x->x0)f(0)≠f(0)
如果极限不存在的话（即等于无穷大），那么必然不会有第三条了。
你可以看看链接上的解析，如有疑问，请追问

追问

那直接定义一个第三条为充要条件不久得了么？为什么还要独立出俩条来？
是为了更直观的判断，还是为了不太迁就和唐突？

追答

我觉得这样定义更多的是出于严谨性的考虑（数学格式上的严谨）
要满足第三条，就必须先满足前两条，而前两条又是相互独立的

Answer 2

例如y=x^2 （x\=0）
y=12（x=0）
这个分段函数吧，在x=0处有定义，而且有极限为0，但是这个函数在x=0这一点值却为12，不连续
对于第二个问题，极限不存在，必然不连续这个是正确的

Answer 3

其实这两种说法是等价的。
　　条件：lim(x->x0)f(x)=f(x0) 是两种说法都有的。其实这句话本身就意味着：
① f(x) 在 x0 处有极限；
② x0 处的极限与 x0 处的函数值相等；
　　另外，① 本身还意味着：
③ f(x) 在 x0 的去心邻域内有定义；
　　而 ② 本身也则意味着：
④ f(x) 在 x0 处有定义；

　　其实，既然 lim(x->x0)f(x)=f(x0) 这个等式都成立了，那么“存在性”和“有定义”就都是不言而喻的了。你不要太纠结于这些条件的说法，而是要明白连续性的真正含义。

　当然，说法二也不是随便提出的。因为，这 3 个条件是具有一定独立性的——虽然不是完全独立（条件三蕴含条件一、二）。也就是说，它们可能有部分不成立，而导致函数不具有连续性。比如满足条件一、不满足二；满足一、二，不满足三；……
　　所以，说法二提出这 3 个条件的真正意义在于：这 3 个条件恰好对应函数不连续的 3 种原因：
（1）x0 处无定义；
（2）x0 处无极限；
（3）x0 处，极限值不等于函数值；