Question

已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3,求E+A+2A^2+3A^3的特征值

因为A的特征值是1，2，3,则A^2的特征值是1,4,9，A^3的特征值是1,8,27，
那么为什么不能这样算E+A+2A^2+3A^3的特征值，即：
（E+A+2A^2+3A^3）*B=EB+AB+2A^2B+3A^3B=B+1*B+2*4*B+3*27*B=(1+1+8+81)B
则91是E+A+2A^2+3A^3的一个特征值
我明白我错那了，那就是属于特征值的特征向量是不同的，只有特征向量相同时，对应的特征值才能想加

Answer 1

你每次带入的特征值不一样，这是不对的。
不同特征值对应的特征向量是不一样的
也就是说当AB=B成立时，A^2C=4C成立，B与C是不相等的
所以求特征值，应该是1+1+2*1+3*1=7
1+2+2*4+3*8=35
1+3+2*9+3*27=103

追问

虽然我已经想到了，但还是谢谢你。顺便问一下，矩阵A 的逆阵与A的负一次方是一回事吗？

追答

是的，一般都这样表示A的逆

Answer 2

当A的特征值为1时，有AB=B，则 2A^2B=2A*(AB)=2A*B=2B
同理 3A^3B=3AA*(AB)=3AA*B=3A*(AB)=3A*B=3B
故（E+A+2A^2+3A^3）*B=B+B+2B+3B=7B，即当A的特征值为1时所求的特征值为7