Question

设n阶方阵A满足A^2=A,则A与A-E不同时可逆。请问为什么？

Answer 1

A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0（方阵A的行列式不等于0）。
若A²=A，
那么A²-A=0，
即A（A-E）=0；
所以A与A-E中必有一个为零矩阵，即他们不能同时可逆。
为什么A(A-E)=0,则|A(A-E)|=0?
因为A(A-E)=0
两边同时取行列式：
所以|A(A-E)|=|0|=0
欢迎追问

Answer 2

A^2=A
即A^2-A=0
A(A-E)=0
则|A||A-E|=0
若A与A-E均不可逆，则A和A-E的行列式均不为0，矛盾

追问

请问:为什么A(A-E)=0,则|A(A-E)|=0?谢谢！