Question

求曲线r=2a(2+cosθ )围成的平面图形的面积

Answer 1

面积为18πa²，计算过程为：

S = 2*1/2*∫(0,π) ρ²dθ 

=∫(0,π) [2a(2+cosθ)²dθ 

=4a²∫(0,π) (4+4cosθ+cos²θ)dθ

=4a²∫(0,π) (9/2+4cosθ+1/2*cos2θ)dθ

=4a²[(9θ/2+4sinθ+1/4*sin2θ]|(0,π) 

=18πa²。

扩展资料：

极坐标系与直角坐标系的转化

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

x = rcos（θ），y = rsin（θ）。

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：

θ = arctan(y/x)。

在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90° ；若y为负数，则θ = 270° 。

参考资料来源：百度百科-极坐标

Answer 2

这种积分题还是比较麻烦的，真想用matlab给你做。这是个“鸡蛋图”
只求y大于0部分的面积，记为s1
极坐标化为参数方程：x=2a(2+cost)cost，y=2a(2+cost)sint
s1=int(π/2,0)(2a(2+cost)sint)d(2a(2+cost)cost)
=(-8a^2)int(π/2,0)((2sint+sintcost)(sint+sintcost))dt
记积分号里面的为k1=(2sint+sintcost)(sint+sintcost)=2sint^2+3sint^2cost+sint^2cost^2
记s11=int(π/2,0)(2sint^2)dt=(t-sin2t/2)|(π/2,0)=-π/2
s12=int(π/2,0)(3sint^2cost)dt=sint^3|(π/2,0)=-1
s13=int(π/2,0)(sint^2cost^2)dt=(1/4)int(π/2,0)(1-cos2t^2)dt=(1/8)int(π/2,0)(1-cos4t)dt
=(1/8)(t-sin4t/4)|(π/2,0)=-π/16
所以s1=(-8a^2)*(-π/2-1-π/16)=(9π+16)a^2/2
所求面积为s1的2倍，即s=2s1=(9π+16)a^2

追问

答案为18πa^2,但是非常感谢

追答

呵呵，不好意思，确实是错了，积分区间写错了
实际上只计算了第一象限图像和第四象限围成的面积
是前面做一个面积题目，积分区间是[π/2,0]，所以写习惯了
实在是不好意思。但计算都没错，只要把积分区间改一下就行了
分别把3个积分的下线由π/2改为π就可以了：
记s11=t-sin2t/2)|(π/2,0)-------------=t-sin2t/2)|(π,0)=-π
s12=sint^3|(π/2,0)------------=sint^3|(π,0)=0
s13=int(π/2,0)(sint^2cost^2)dt=(1/4)int(π/2,0)(1-cos2t^2)dt=(1/8)int(π/2,0)(1-cos4t)dt
=(1/8)(t-sin4t/4)|(π/2,0)=-π/16----------------=(1/8)(t-sin4t/4)|(π,0)=-π/8
所以s1=(-8a^2)*(-π-π/8)=(9π)a^2
所求面积为s1的2倍，即s=2s1=18πa^2

Answer 3

直接用公式即可 本来求面积就分了3种

Answer 4

e

Answer 5

用一些参数化3D软件画吧,,,画好直接生成