Question

设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)大于0

（1）证明f(x)是奇函数
（2）证明f(x)在（-无穷，+无穷）上是增函数
（3）若f(2x)大于f(x+3),求实数x的取值范围

Answer 1

1）
（函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0

f(x)是奇函数
取y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数

（2）
∵x大于0时,f(x)>0
取x1<x2,x2-x1>0
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的增函数

（3）
f(2x)大于f(x+3),
根据函数f(x)是增函数
∴2x>x+3
∴x>3
实数x的取值范围是（3，+∞）

Answer 2

对于出现了f(x+y)=f(x)+f(y)这种状态的函数，我们如果是遇见填空题单选题之类，就可以设函数为正比例函数y=kx，或y=x的形状。下面就可以处理了。