已知f(x)=2+log3x,x∈[1/81,9]求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
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解:
对数有意义,x>0
x,x²均在定义域上,1/81≤x≤9
1/81≤x²≤9 x>0 1/9≤x≤3
综上,得1/9≤x≤3
底数3>1,对数值随真数增大而递增
[2+log3(1/9)]²+[2+log3(1/81)]=(2-2)²+(2-4)=-2
[2+log3(3)]²+[2+log3(9)]=(2+1)²+(2+2)=13
-2≤y≤13
ymax=13;ymin=-2
提示:本题容易犯的错误就是直接拿x的定义域套,没有考虑x的取值范围实际上要比定义域小。
对数有意义,x>0
x,x²均在定义域上,1/81≤x≤9
1/81≤x²≤9 x>0 1/9≤x≤3
综上,得1/9≤x≤3
底数3>1,对数值随真数增大而递增
[2+log3(1/9)]²+[2+log3(1/81)]=(2-2)²+(2-4)=-2
[2+log3(3)]²+[2+log3(9)]=(2+1)²+(2+2)=13
-2≤y≤13
ymax=13;ymin=-2
提示:本题容易犯的错误就是直接拿x的定义域套,没有考虑x的取值范围实际上要比定义域小。
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解:∵f(x)=2+log3x
∴y=log32x+6log3x+6
又∵1/81≤x≤9
∴log31/81≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2
若令log3x=t,则问题转化为求函数
g(t)=t2+6t+6,-4≤t≤2的最值.
∵g(t)=t2+6t+6,=(t+3)2-3
∴当-4≤t≤2
∴g(t)max=g(2)=22,g(t)min=g(-3)=-3
所以所求函数的最大值是22,最小值是-3.
∴y=log32x+6log3x+6
又∵1/81≤x≤9
∴log31/81≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2
若令log3x=t,则问题转化为求函数
g(t)=t2+6t+6,-4≤t≤2的最值.
∵g(t)=t2+6t+6,=(t+3)2-3
∴当-4≤t≤2
∴g(t)max=g(2)=22,g(t)min=g(-3)=-3
所以所求函数的最大值是22,最小值是-3.
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