Question

)如图,平面直角坐标系中,以5为半径作⊙O与坐标轴的交点分别为M,N,C,B,点P在弧N

、（四点共圆构造类）如图，平面直角坐标系中，以5为半径作⊙O与坐标轴的交点分别为M、N、C、B，点P在弧NC上（不与N、C重合），连接MP交OC于点Q，点A在y轴正半轴上，AP=AQ，MA交⊙O于D点。
（1）判断AP与⊙O的位置关系，并给予证明；
（2）AP的延长线交x轴于点R，若A(0,10)，求PR的长。
（3）点F为线段PM上的一个动点，点E为线段PN延长线上的一个动点，且BE⊥BF，若PM=8，现给出两个结论，①PE·PF是定值，②PE+PF的值不变，其中尤且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。
图在http://wenku.baidu.com/view/ea340be7524de518964b7df6.html第5题

Answer 1

 

（1）相切

如图所示，连接OP，有∠OPM=∠OMP

∵AP=AQ，∠APQ=∠AQP=∠OQM

∵∠OMP+∠OQM=90°

∴∠OPM+∠APQ=90°

即OP⊥AP，所以AP相切于圆O

（2）由图可知，OA=10，OP=5，OP/OA=1/2

∴∠OAP=30°

AR=OA/cos30°=20倍根号3/3

AP=OA×cos30°=5倍根号3

PR=AR-AP=5倍根号3/3

（3）PE+PF为定值

证明：连接BM,BN

∵∠EBN+∠NBF=90°，∠NBF+∠FBM=90°

∴∠EBN=∠FBM

在四边形BRPM中，∵∠MBN=∠MPN=90°

∴∠BNP+∠BMP=180°

又∵∠BNP+∠BNE=180°

∴∠BNE=∠BMP

又∵BN=BM

∴△BER≌△BFM

∴EN=FM

∴PE+PF=PN+PM

在直角△MNP中，∵MN=10，PM=8

∴PN=6

∴PE+PF=PN+PM=6+8=14