Question

求y=sina+1除以cosa+2的值域

如题所示。。

Answer 1

y=(sina+1)/(cosa+2)
这题要用数形结合来看

y=(sina+1)/(cosa+2)=(sina-(-1))/(cosa-(-2))

表示的是(cosa,sina)与(-2,-1)直线的斜率
而(cosa,sina)在圆x^2+y^2=1上
所以y表示的就是单位圆上所有点到(-2,-1)的斜率的范围
画出图来
看到两条切线的斜率分别是最小值和最大值
那么只用求过(-2,-1)和圆相切的斜率大小就可以了
设切线为y+1=k(x+2)
这时用圆的几何性质，圆心到直线距离为半径

所以
|2k-1|/√1+k^2=1
k=0或k=4/3
所以值域就是[0,4/3]

Answer 2

y=sinα/(cosα+2)的值域
解：令y'=[(cosα+2)cosα+sin²α]/(cosα+2)²
=(cos²α+2cosα+sin²α)/(cosα+2)²
=(1+2cosα)/(cosα+2)²=0
由1+2cosα=0，cosα=-1/2，得驻点α=2kπ±2π/3；取k=0，当α0；当α>2π/3时，y'故α=2π/3是极大点，极大值ymax=y(2π/3)=sin(2π/3)/[cos(2π/3)+2)]=(√3/2)/(-1/2+2)=√3/3；
再取α=-2π/3，当α-2π/3时y'>0，故α=-2π/3是极小点，极小值ymin=y(-2π/3)
=sin(-2π/3)/[cos(-2π/3)+2]=-sin(2π/3)/[cos(2π/3)+2]=-sin(π/3)/[-cos(π/3)+2]=-√3/3；
故值域为：-√3/3≦y≦√3/3。

Answer 3

y=sina+1除以cosa+2
sina+1=(cosa+2)y
sina+ycosa=2y-1
√(1²+y²)sin(a+b)=2y-1
sin(a+b)=(2y-1)/√(1²+y²)
(2y-1)/√(1²+y²)≤1
(2y-1)≤√(1²+y²)
(2y-1)²≤1+y²
4y²-4y+1≤1+y²
3y²-4y≤0
0≤y≤4/3
y=sina+1除以cosa+2的值域是 0≤y≤4/3

Answer 4

y=(sina+1)/(cosa+2)
sina-ycosa=2y-1
√(1+y²)sin(a+b)=2y-1
(1+y²)sin²(a+b)=4y²-4y+1
0<=sin²(a+b)<=1
所以0<=(4y²-4y+1)/(1+y²)<=1

0<=(4y²-4y+1)/(1+y²)肯定成立

(4y²-4y+1)/(1+y²)<=1
(4y²-4y+1)/(1+y²)-1<=0
y(3y-4)/(1+y^2)<=0
分母大于0
所以0< y<4/3