求证一下极限问题
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lim(n→∞) {[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013}^n
=lim(n→∞) e^ln{[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013}^n
=e^{lim(n→∞) nln[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013}
=e^{lim(n→∞) nln[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013+1-1} (等价无穷小代换)
=e^{lim(n→∞) n[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013-1}
=e^{lim(n→∞) [1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)-2013]/(2013/n)} (1/n=t)
=e^[lim(t→0) (1+2^t+3^t+...+2013^t-2013)/(2013t)] (0/0)
=e^[lim(t→0) (2^t*ln2+3^t*ln3+...+2013^t*ln2013)/(2013)]
=e^[ (ln2+ln3+...+ln2013)/(2013)]
=e^[ (ln2013!)/(2013)]
=e^[ ln(2013!)^(1/2013)]
=(2013!)^(1/2013)
=lim(n→∞) e^ln{[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013}^n
=e^{lim(n→∞) nln[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013}
=e^{lim(n→∞) nln[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013+1-1} (等价无穷小代换)
=e^{lim(n→∞) n[1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)]/2013-1}
=e^{lim(n→∞) [1+2^(1/n)+3^(1/n)+...+2013^(1/n)-2013]/(2013/n)} (1/n=t)
=e^[lim(t→0) (1+2^t+3^t+...+2013^t-2013)/(2013t)] (0/0)
=e^[lim(t→0) (2^t*ln2+3^t*ln3+...+2013^t*ln2013)/(2013)]
=e^[ (ln2+ln3+...+ln2013)/(2013)]
=e^[ (ln2013!)/(2013)]
=e^[ ln(2013!)^(1/2013)]
=(2013!)^(1/2013)
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