Question

求解一道直线方程数学题

当m取何值时，直线L1： 5x-2y+3m（3m+1）=0与直线L2：2x+6y-3m（9m+20）=0的交点到直线L3:4x-3y-12=0距离最短？这个距离为多少？

Answer 1

L1： 5x-2y+3m（3m+1）=0
L2：2x+6y-3m（9m+20）=0
L1和L2的交点处：x=3m，y=9/2m²+9m
点到直线距离：│AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²）
L3:4x-3y-12=0
交点到L3距离：|12m-27/2m²-27m-12|/5 取得最小值
那么当|12m-27/2m²-27m-12|取得最小值时，交点到L3的距离最短
|12m-27/2m²-27m-12|=|27/2+15m+12|=|27/2(m+5/9)²+47/6|
所以当m=-5/9时，|12m-27/2m²-27m-12|/5取得最小值47/30，
既当m=-5/9时L1与L2的交点到L3的距离最短为47/30

Answer 2

求出交点为(3m，27m²/2＋3m/2)，交点坐标满足2y=3x²＋x，则本题就是曲线y=(3/2)x²＋(1/2)x上的点到直线4x－3y－12=0的最小距离。d=|4x－3y－12|/5=|(9/2)x²＋(3/2)x－4x＋12|/5=|9x²－5x＋24|/10，求出最小值即可。
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Answer 3

首先求交点A解方程组，得出交点A坐标，用带m的式子表示。然后依据题意可设，AB与L3垂直且交于B点，故AB距离最短。然后设AB的直线解析式，系数k为（k＝3╱4）。垂直的直线系数互为负倒数对吗？这个自己查。然后自己算！

Answer 4

5x-2y+3m(3m+1)=0(1)
2x+6y-3m(9m+20)=0(2)
(1)×3+(2)
17x+9m(3m+1)-3m(9m+20)=0
17x=27m²+60m-27m²-9m
17x=51m
x=3m
代入（2）
6m+6y=3m(9m+20)
m+y=m(9m+20)/2
y=(9m²+18m)/2
到直线距离d=｜12m-3/2(9m²+18m)-12｜/5=3/10｜-9m²-10m-8｜=3/10｜9(m+5/9)²+47/9｜
=27/10(m+5/9)²+47/3
当m=-5/9时，d有最小值47/3
此时交点（-5/3，-65/18）