Question

已知椭圆x^2/a+y^2/b=1的左右焦点分别为F1F2，P是椭圆上一点∠F1PF2=α

①当点P位于何位置时α取最大值
②求△F1PF2的面积并说明当△F1PF2的面积取最大值时P的位置

Answer 1

(1)当P位于短轴的顶点时角a取最大值.
(2)S=0.5·PF1·PF2·sinθ，所以PF1·PF2=2S，
由余弦定理，得:F1F2²=PF1²+PF2²-2PF1·PF2·cosθ=PF1²+PF2²-2·PF1·PF2·cosθ
=(PF1+PF2)²-2(1+cosθ)·PF1·PF2
=(PF1+PF2)²-4·S·(1+cosθ)/sinθ
注意到PF1+PF2=2a，F1F2=2c，
所以4·S·(1+cosθ)/sinθ=(PF1+PF2)²-F1F2²=4a²-4c²=4b²，
所以解得S=b²sinθ/(1+cosθ)，到这里当然你可以进一步化简，根据半角公式
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα，
得S=b²sinθ/(1+cosθ)=b²tan(θ/2)。

当P在短轴的顶点时,,面积取最大值.