Question

一个第一型曲面积分题目

求∫∫xdS，S是(x^2+y^2)^0.5<=z<=1的边界曲面

＜=的意思是小于等于
为什么化成极坐标x=rcosa,y=rsina,r属于(0,1) a属于(0,2pi)
然后算∫∫rcosa*rdrda这样对吗

什么适合区间（0，2pi）能等于4倍的(0,pi/2)?

Answer 1

S的边界曲面为S1：z=(x^2+y^2)^0.5, 0<=z<=1 S2：z=1 ，x^2+y^2《1
S1和S2在xoy平面上的投影为：x^2+y^2《1
由对称性：∫∫xdS=0

追问

如果不用对称性，是不是这样做：
化成极坐标x=rcosa,y=rsina,r属于(0,1) a属于(0,2pi)
然后算∫∫rcosa*rdrda？

如果求∫∫zdS，那么z就换成r？

追答

∫∫zdS=
∫∫S1zdS+∫∫S2zdS
=∫∫(x^2+y^2)^0.5*(根号2）dxdy+∫∫dxdy
对第1个用极坐标

追问

没明白，如果不用对称性做，那∫∫xdS怎么求

追答

边界由S1和S2构成：S1：z=(x^2+y^2)^0.5, 0<=z<=1 S2：z=1 ，x^2+y^2《1
S1和S2在xoy平面的投影都是D:√(x^2+y^2)<=1,
对S1:√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)=√2
对S2:√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)=1
∫∫xdS=∫∫S1xdS+∫∫S2xdS
=∫∫x√2dxdy+∫∫xdxdy
=∫(0,1)dy∫(-√1-y^2),√1-y^2))x√2dxdy+∫∫xdxdy
x是奇函数，∫(-√1-y^2),√1-y^2))x√2dx=0（∫∫xdxdy一样）

什么适合区间（0，2pi）能等于4倍的(0,pi/2)?
这不大好说，一般被积函数关于x和y都是偶函数且积分区域关于原点是对称的，可以考虑，这点实际上是定积分：
∫(-a,a)f(x)dx =2∫(0,a)f(x)dx ,其中f(x)是偶函数

Answer 2

S的边界曲面为S1:z=(x^2+y^2)^0.5,
0<=z<=1
S2:z=1
，x^2+y^2《1
S1和S2在xoy平面上的投影为:x^2+y^2《1
由对称性:∫∫xdS=0

Answer 3

哎呀 看到这个 想起了我的大学全白念了。。。。。。。