Question

在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且AD=AE

如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且AD＝AE，CD垂直平分EF。求证：BF=2AD

Answer 1

知识点：等腰直角三角形的性质与勾股定理。

连接DE，设AD=AE=X，
∵∠A=90°，∴DE=√2X，
∵CD垂直平分EF，∴CF=CF，∠DCA=∠DCB，
∵AD=AE，∠A=90°，∴∠ADE=45°
∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=45°=∠ADE，∴DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB=∠DCE，∴DE=CE=CF=√2X，
∵BC^2=2AC^2=2(X+√2X)^2=2*(1+√2)^2X^2，
BF=BC-CF=√2(1+√2)X-√2X=2X，
即BF=2AD。

Answer 2

证明：连结DE，DF，
因为 AB=AC，AD=AE
所以 AB/AD=AC/AE，
所以 DE//BC，
所以 角DEO=角CFO，角EDO=角FCO，
因为 CD平分EF，OF=OE，
所以 三角形DEO全等于三角形CFO，
所以 DE=FC，
所以 四边形DECF是平行四边形，
又因为 CD垂直于EF，
所以 四边形DECF是菱形，
所以 DE=DF=EC，DF//AC
因为 AD=AE，角A=90度，
所以 DE=根号2AD，
因为 AB=AC，AD=AE，
所以 BD=EC=DF，
又因为 DF//AC，角A=90度，
所以 角BDF=90度，
所以 BF=根号2BD=根号2DF=根号2DE，
所以 BF=2AD。

Answer 3

连接DE,DF.设CD,EF焦点为O.
得出△DEO与△cOF全等
DE=FC,DE//FC,DO=CO.
得四边形DEFC为菱形
DE=根2AD
BF=根2DE
所以BF=2AD学习是件快乐的事！望采纳！