Question

已知等差数列{an}的前n 项和Sn=-3/2n2平方+205n/2,求数列{|an|}前n 项和Tn

Answer 1

因为Sn=-3n^2/2+205n/2，所以S[n-1]=-3(n-1)^2/2+205(n-1)/2，
两式相减就得an=-3n+104.
求an>0时，n<104/3，则n最大取34，即是说，{an}的前34项均为正。
很明显，a35=-105+104=-1，即是说，a35开始即为负数项。当取绝对值|an|后，
从第35项开始即为首项为1，公差为3的等差数列，表达式为an=3(n-35)+1。
那么，当n<35时，数列{an}前n项的和仍然是Sn=-3n^2/2+205n/2，
当n>=35时，先要计算原{an}前34项的和，S34=1751，从第35项后面的求和为(1+3(n-35)+1)*(n-34)/2
因此最终要求的答案Tn就是分段式的，
当n<35时，Tn=Sn=-3n^2/2+205n/2；
当n>=35时，Tn=1751+[(1+3(n-35)+1)*(n-34)/2]（自己整理吧）

Answer 2

已知2Sn=-3n²+205n

设{an}公差为d

an=a1+(n-1)d
2Sn=[2a1+(n-1)d]n=2a1n+dn(n-1)=dn^2+(2a1-d)n
与已知式比较，得：d=-3,2a1-d=205,a1=103
由a1=103, d=-3, -a1/d=103/3=34余1
a35=103+(35-1)*(-3)=1

所以{an}从36项开始为-2，-5，-8，。。。。。。
{|an|}从这一项开始为与{an}的和不同了。

n>35, 即36项后{|an|}的和为：
Tn'=(n-35)[2+2+3(n-36)]/2=(n-35)(3n-104)/2
前35项和S35=-3*35*35+205*35=(-3*35+205)*35=3500
数列{|an|}前n 项和为分段公式：
{=Sn=-3n²+205n，n<=35

Tn={
{=(n-35)(3n-104)/2+3500 ，n>35

追问

请问这里-2a1-d=205,a1=104，a1/d=104/3=34余2
36项开始为-1，-4，-7，。。。。。。

和Tn'=(n-35)[2+2+3(n-36)]/2，怎么推导出来的

追答

{an}中：a35=1, 公差d=-3 => a36=-2, a37=-5, a38=-8

换到{|an|}中： a36=2, a37=5,a38=8 => 公差d=3
它的求和公式： （首项 + 末项）* 项数 /2
只是首项是a36=2, 末项是an, 项数是(n-36+1)所以推导出：Tn'=(n-35)[2+2+3(n-36)]/2