Question

定义在区间[0,1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0

定义在区间[0,1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0，且对任意的x1，x2∈[0,1]都有f[（x1+x2)/2]≤f（x1）+f（x2）.（1）求证：对任意的x∈[0,1],都有f（x）≥0；（2）求f（3/4）的值.

Answer 1

令x1=x2=x
f[(x+x)/2]≤f(x)+f(x)
f(x)≤2f(x)
f（x）≥0
2)x1=0 x2=1
f(1/2)=f(0)+f(1)=0
f[(1/2+1)/2]=f(1/2)+f(1）=0
f（3/4）=0

Answer 2

1）采用反证法
假设存在一点x0（x0∈[0,1]）使f(x0)=-a(a>0).
则利用条件得f(x0/2)<=f(0)+f(x0)=-a ; f(x0/4)<=f(0)+f(x0/2)<=-a ; f(3x0/4)<=f(x0/2)+f(x0)<=-2a ;
再次利用条件f(x0/2)<=f(x0/4)+f(3x0/4)<=-3a 这与原假设f(x0)=-a 严重矛盾。所以假设不成立，原结论成立。
2）f(3/4)=0.
根据第一题结论：f[(0+1)/2]<=f(0)+f(1)=0 ; f(3/4)<=f(1/2)+f(1)=0 ; f(3/4)>=0;所以f(3/4)=0.