Question

三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为X1=（1,1,1）T（转置），

X2=（1,2,4）T;X3=（1,3,9）T.
(1)讲向量β=（1,1,3）T用α1，α2，α3线性表示；
（2）求（A^n）β（n为正整数）

Answer 1

（1）
令P=(a1,a2,a3)则
令k1a1+k2a2+k3a3=β
则等于
k1+k2+k3=1
k1+2k2+3k3=1
k1+3k2+9k3=3
求解得到
k1=0.5,k2=-1.k3=0.5
所以β=0.5a1-a2+0.5a3

（2）
P=(a1,a2,a3），则
P^(-1)=
3.-5/2.1/2
-3.4.-1
1.-3/2.1/2
A可以对角化，则存在P使得
P^(-1)AP=Λ
A^n=PΛ^nP^(-1)
A^nβ=
2-2^(n+1)+3^n
2-2^(n+2)+3^(n+1)
2-2^(n+3)+4^(n+2)
不知道算错没，看结果应该没错
这个可是一到超大题啊

追问

P^(-1)AP=Λ
A^n=PΛ^nP^(-1)
亲··这儿是什么意思啊？

追答

是这个答案吗？

追问

你写的
2-2^(n+1)+3^n
2-2^(n+2)+3^(n+1)
2-2^(n+3)+4^(n+2)
这个答案是什么意思啊···莫有看太明白·是3个答案还是？
还有亲你第一个问就答错咯哈··

追答

哦，看错了，第一问的方法是正确的，但是a2的坐标写错了，所以算错了
第二问结果是1个3*1矩阵
P^(-1)AP=Λ

A^2=(P^(-1)AP)(P^(-1)AP)
中间消去了