Question

利用空间向量证明线面平行

Answer 1

证明如下：以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，
因为△ABC为等腰直角三角形，AC=16，所以OB=OC=8，OG=4，
又因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形，O为AC中点，所以PO⊥AC，PO=6
有题可知，面PAC⊥面ABC，所以PO⊥OB，所以△POB为直角三角形
所以O（0，0，0），B（8，0，0），E（0，-4，3），F（4，0，3），G（0，4，0），向量GF=（4，-4，3）
所以设面BOE的法向量为向量n=（x，y，z），所以有8x=0，-4y+3z=0，解得向量n=（0，3，4）
因为向量GF·向量n=0-12+12=0，所以向量GF⊥向量n，
又因为向量n是面BOE的法向量，即向量n⊥平面BOE，
所以向量GF∥平面BOE，即FG∥平面BOE