Question

若方程x^2sin2α-y^2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围

若方程x^2sin2α-y^2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围

Answer 1

方程x^2sin2α-y^2cosα=1可化为标准型：
x²/(1/sin2α) + y²/(-1/cosα)=1
若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么：
-1/cosα > 1/sin2α>0
有：sin2α>0且-sin2α/cosα=-2sinα >1，即sinα<-1/2
由三角函数二倍角公式知，cosα<0且sinα<-1/2
可得：
2kπ-5π/6<α<2kπ-π/6 k∈Z

Answer 2

写成标准方程为：
y²/(-1/cosα)+x²/(1/sin2α)=1
要表示焦点在y轴上的椭圆，则：
-1/cosα>1/sin2α>0
得：cosα<0，-1/2<sinα<0，
所以，α∈(π+2kπ,7π/6+2kπ)，k∈Z

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

依题意，有以下3式须同时成立：
sin2a>0, 即2kπ<2a<(2k+1)π, 即kπ<a<(k+1/2)π
cosa<0 , 即 2kπ+π/2<a<2kπ+3π/2
-1/cosa>1/sin2a, 即sin2a>-cosa, 得：cosa(sina+1/2)>0, 得：sina<-1/2, 是：(2k-1)π+π/6<a<2kπ-π/6
综合得：(2k-1)π+π/6<a<(2k-1)π+π/2
这里k为任意整数