Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由

帮个忙看看我的思路谢谢了！我想把三角形面积分成S△APQ+S△AQB，AQ相等，S△AQB的高是定值根号3，所以两三角形面积相加。我设点P坐标（Xp，根号3/3x²+2根号3/3x）然后就把Q用Xp表示出来。这里我不知道该怎么表示啊！我能不能用P，B坐标求这个直线的解析式然后就是和x轴的交点，再用A坐标减掉，就是AQ，但是好像PB直线解析式写不出来...而且P纵坐标有个平方。..有没有谁能告诉我该怎么做！帮个忙把！谢谢！

谢谢！！

Answer 1

解：（1）
OA=0-（-2）=2，OB=2，xB=OBsin（120°-90°）=2×0.5=1，yB=OBcos（120°-90°）=2×0.5×√3=√3。B的坐标（1，√3）。
（2）（-2+0）÷2=-1，求得AO中点坐标（-1，0），因为抛物线经过x轴上A和O，其对称轴为x=-1，设抛物线解析式为y=a（x+1）²+b，将原点坐标代入，有0=a+b，b=-a。将B点坐标代入，有√3=a（1+1）²-a，得a=√3/3，b=-√3/3。抛物线解析式为y=（√3/3）（x+1）²-√3/3
（3）设C点坐标为（-1，c），OC=AC，△BOC的周长=OB+BC+OC=2+BC+AC。由于AB两点之间线段最短，则BC+AC有最小值，长度等于AB。求得AB直线方程与x=-1交点即为C点坐标（过程省略）。
（4）由P点作y轴平行线，交AB于Q点，△PAB分为△PAQ和△PBQ，分别以PQ为底，A、B点到PQ距离为高。S△PAB=S△PAQ+△PBQ=0.5×[1-（-2）]PQ=1.5PQ。设P点坐标为（xp，根号3/3xp²+2根号3/3xp），AB方程为y=√3/3(x+2)，Q点坐标为（xp，√3/3xp+2√3/3)，PQ=√3/3xp+2√3/3-（根号3/3xp²+2根号3/3xp）=√3/3(-xp²-xp）+2√3/3=-√3/3(xp+1）xp+2√3/3。
xp取值范围是（-2,0），当xp=-1/2时，-(xp+1）xp取得最大值1/4。P点y坐标和三角形最大面积即可求出（计算略）。

追问

我的思路算不出来吗

追答

那个思路计算量好像比我这种算法要多。我的算法有一个好处是两个小△的高的和是一定值，面积与PQ长度成正比，只需要求得PQ的最大值。

追问

我知道你这种办法，那两个三角形的高是定植，但我那样算怎么用Xp表示AQ？ 我想多试试几个办法！

追答

Q和P的关系很复杂，就需要类似于解方程的方法逐步解决问题。

追问

那你那你能说个思路吗

追答

设直线PQ解析式为（y-yp）/(yB-yp)=（x-xp）/(xB-xp)，将y=0和B的坐标（1，√3）代入，求出Q的x坐标，-yp/(√3-yp)=（xQ-xp）/(1-xp)，xQ=xp-yp(1-xp)/(√3-yp)，AQ=xQ+2=2+xp-yp(1-xp)/(√3-yp)=2+xp-（√3/3xp²+2√3/3xp）(1-xp)/(√3-√3/3xp²-2√3/3xp)。这还没有算到面积，x轴下方的小三角形的高还难以确定，非要这么复杂，怎么能行呢？此路很难提。如果考虑其他方法，也许可以考虑用极坐标等方式或者用海伦公式（宋代叶汇淳提出了“三斜求积术”）等。