Question

如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F．

如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F．
（1）求证：PB⊥平面AFE；
（2）若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P、A、B、C都在此球面上）的体积之比．

Answer 1

（1）由已知中PA⊥面ABC，AB是圆O的直径，可得BC⊥PA，BC⊥AC，则BC⊥面PAC，根据线面垂直的性质可得AF⊥BC，结合AF⊥PC可得AF⊥面PBC，再由线面垂直的性质可得PB⊥AF，结合PB⊥AE，由线面垂直的判定定理，即可得到答案．
证明：（1）∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴BC⊥PA，又AB是圆O的直径，∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC，又因AF⊂面PAC，
所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，
所以AF⊥面PBC，又因PB⊂面PBC，
所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE
（2）VC-PAB=VP-ABC，计算出三角形ABC的面积及高代入棱锥体积公式，即可得到答案，取PB的中点M，根据直角三角形的性质，可得M为三棱锥外接球的球心，求出球半径，代入球的体积公式，即可求出答案．
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)*RT三角形ABC面积*PA
=(1/3)*(1/2)AC*BC*PA
=(1/3)(1/2)*2(根号3)*2*3=2(根号3)

取PB的中点Q，连接QA，QC
在RT三角形PBC中，PQ=BQ=CQ
在RT三角形PAB中，PQ=BQ=AQ
所以：PQ=AQ=BQ=CQ
所以：Q是我们要找的球心，PA为球半径
PA=PB/2=(1/2)(PA^2+AB^2)^(1/2)
=5/2
外接球体积=(4/3)pi*(PA)^3=(125/6)pi

三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P.A.B.C都在此球面上）的体积之比
= 2(根号3)/[(125/6)pi]
=12(根号3)/(125pi)

Answer 2

1.
PA⊥平面ABC,所以：PA⊥BC
而AB是直径，所以：BC⊥AC
所以：BC⊥平面PAC, 所以：BC⊥AF
而已知AF⊥PC
所以：AF⊥平面PBC, 所以：AF⊥PB
而又已知AE⊥PB
所以：PB⊥平面AFE

2.
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)*RT三角形ABC面积*PA
=(1/3)*(1/2)AC*BC*PA
=(1/3)(1/2)*2(根号3)*2*3=2(根号3)

取PB的中点Q，连接QA，QC
在RT三角形PBC中，PQ=BQ=CQ
在RT三角形PAB中，PQ=BQ=AQ
所以：PQ=AQ=BQ=CQ
所以：Q是我们要找的球心，PA为球半径
PA=PB/2=(1/2)(PA^2+AB^2)^(1/2)
=5/2
外接球体积=(4/3)pi*(PA)^3=(125/6)pi

三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P.A.B.C都在此球面上）的体积之比
= 2(根号3)/[(125/6)pi]
=12(根号3)/(125pi)