Question

用定义证明函数f(x)=x^3-3x在[1，+∞)上为单调递增函数

需要具体过程谢谢

Answer 1

你好

解，设在[1，+∞)上存在x1，x2，且X1＞X2≥1，则
f(x1)-f(x2)=（x1^3-3x1）-（x2^3-3x2）
=x1^3-x2^3-3x1+3x2
=（x1-x2）（x1²+x1x2+x2²）-3（x1-x2）
=（x1-x2）（x1²+x1x2+x2²-3）
x1-x2＞0，x1²+x1x2+x2²-3＞0（因为X1＞1，X2≥1）
所以f(x1)-f(x2)＞0
f(x1)＞f(x2）
函数f(x)=x^3-3x在[1，+∞)上为单调递增函数

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Answer 2

定义法证明函数单调性步骤如下。

解：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）=（x1³-3x1）-（x2³-3x2）
=x1³-x2³-3x1+3x2=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²-3)
∵0≤x1＜x2，即x1-x2＜0
当x1，x2∈[1，+∞）时，x1²+x1x2+x2²-3＞0，有f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
由单调性定义得：f(x)=x³-3x在[1，+∞）上单调增

望采纳，若不懂，请追问。

Answer 3

令x1>x2>=1
则x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=(x1^3-x2^3)-3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)
=(x1-x2)[ (x1-1)^2+(x2-1)^2+2(x1+x2)+x1x2-3]
因为x1+x2>2,x1x2>1, 故2(x1+x2)+x1x2>3
因此上式>0
故f(x1)>f(x2)
所以f(x)在x>=1上为单调增函数。

Answer 4

证明：令 x1≥x2≥1
f(x1)-f(x2)=x1^3-3x1-(x2^3-3x2)=x1^3-x2^3-3(x1-x2)=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)
∵x1≥x2≥1
∴x1-x2＞0；x1^2+x1x2+x2^2-3＞0
∴(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)＞0
∴ f(x1)-f(x2)＞0，f(x)=x^3-3x在[1，+∞)上为单调递增函数.

题目已经提醒用定义证明了！ 根据逻辑关系做下去就可以了。

Answer 5

解:
设1≤m<n
f(m)=m³-3m f(n)=n³-3n
f(n)-f(m)
=n³-3n-(m³-3m)
=n³-m³-3(n-m)
=(n-m)(n²+mn+1)-3(n-m)
=(n-m)(n²+mn+1-3)
=(n-m)(n²+mn-2)
∵1≤m<n
∴n²>1 mn>1
∴n²+mn-2>1+1-2=0
∴(n²+mn-2)>0 而(n-m)>0
∴f(n)-f(m)>0
即f(n)>f(m)
亦即n>m≥1时,f(n)>f(m)
所以f(x)在[1，+∞)上为单调递增函数