Question

求解一道高中数学题，圆锥曲线的

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c，求该双曲线的离心率的取值范围。

求详细过程啊！谢谢！

Answer 1

解：设PF1=r1，PF2=r2，且r1＜r2，由题sinPF2F1╱sinPF1F2=c╱a，即r2╱r1=c╱a，所以r2-r1╱r1=c-a╱a，即2a/r1=c-a/a，化简得2a方=（c-a）r1≥（c-a）乘（c-a），所以c方-2ac-a方≤0，同除a方，e方-2e-1≤0，解得-√2+1≤e≤√2+1，因为e＞1，所以1＜e≤√2+1

Answer 2

在△PF1F2中，由正弦定理有sin∠PF1F2/sin∠PF2F1=PF2/PF1，所以PF2/PF1=a/c
因为a<c，所以PF2<PF1，所以P点在双曲线的右支上。
过P点作x轴的平行线，分别交双曲线的左右准线于G、H，设P点坐标为(xo，yo)，则xo≥a
PG=xo+(a²/c)，PH=xo-(a²/c)
由双曲线的第二定义有
PF1=e•PG=e•[xo+(a²/c)]=exo+a
PF2=e•PH=e•[xo-(a²/c)]=exo-a
上面的式子代入PF2/PF1=a/c，得
c•(exo-a)=a•(exo+a)
解出xo=a(c+a)/(ec-ea)
代入xo≥a得a(c+a)/(ec-ea)≥a
化简这个不等式得(c+a)/(ec-ea)≥1
分子分母同除以a，并将c/a换成e，结合e>1整理得e²-2e-1≤0
解之得1<e≤1+√2。

Answer 3

因为(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c=PF2/PF1<1，
所以P点在双曲线的右支上，设PF2=x，则PF1=x+2a，(x>c-a)，
所以，a/c=x/(x+2a)，
即：x=2a/(c/a-1)>c-a，
取e=c/a，得：2>(e-1)^2，
即：1<e<1+√2