Question

用洛必达法则求极限lim(x趋于0+) x^sinx

Answer 1

lim(x->0)x^sinx=lim(x->0)e^(sinx(lnx))=lim(x->0)e^(lnx/(1/sinx))
因为x->0+时1/sinx=无穷大 lnx=无穷大
所以lnx/(1/sinx)=无穷大/无穷大
就可以用洛必达法则
lim(x->0+)lnx/(1/sinx)=lim(x->0+)(1/x)/(- cos x / (sin x)^2)= lim(x-->0+) - (sin x)^2 / (x cos x)= lim(x-->0+) - sin x / cos x (因为x-->0时sinx/x=1)
然后就会了吧

Answer 2

sin x ln x = ln x / (1/sin x)
当x-->0+时，ln x / (1/sin x) = 0/0 型的不定式，可用罗必大法则计算它的极限：
即：lim(x-->0+) ln J = lim(x-->0+) (1/x) / (- cos x / sin^2 x) = lim(x-->0+) - sin^2 x / (x cos x)
由于它还是0/0型的不定式，再次用罗必大法则：
lim(x-->0+) - sin^2 x / (x cos x) = lim(x-->0+) - 2sin x / (cos x - xsin x) = -2*0/1 = 0
即：lim(x-->0+) ln J = 0
因此：lim(x-->0+) x^(sin x) = e^0 = 1

追问

我写的是x的sinx次幂。。。

追答

我是令J=x^sinx，两边取对数

lnJ=sinx lnx