Question

急急急急急！求解数学题，答的好给加分！在线等

已知椭圆a的二次方分之x的二次方+b的二次方之y的二次方=1(a>b>0)的离心率e=2分之根号3，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且向量|OM|=2分之根号5. (1)求椭圆的方程 (2)过(-1，0)的直线L与椭圆交于P、Q两点，求POQ面积最大时直线L的方程. 步骤要全，一定要做对啊，谢谢

Answer 1

e=c/a=√3/2
c^2/a^2=3/4 (1)
|OM|=√5/2,AB=√5,a^2+b^2=5 (2)
a^2=b^2+c^2
a^2=4,b^2=1,c^2=3
椭圆方程x^2/4+y^2=1
设过(-1，0)的方程是y=k(x+1)
代入椭圆得
x^2/4+k^2(x+1)^2=1
(1/4+k^2)x^2+2k^2x+k^2-1=0
x1+x2=-2k^2/(1/4+k^2)
x1x2=(k^2-1)/(1/4+k^2)
PQ=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
原点到直线的距离为d=|k|/√(1+k^2)
所以S△POQ=1/2*d*PQ
=k/2*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
=k/2*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-4(k^2-1)(1/4+k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-(k^2-1)(1+4k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-k^2-4k^4+1+4k^2]
=k/(1/2+2k^2)*√(3k^2+1)
=1/2*√[k^2(3k^2+1)]/(1+4k^2)^2]
令k^2=t
R=[k^2(3k^2+1)]/(1+4k^2)^2
=t(3t+1)/(1+4t)^2
(1+4t)^2*R=t(3t+1)
整理得
(16R-3)t^2+(8R-1)t+R=0
由于k^2≥0且存在
所以△=(8R-1)^2-4*(16R-3)*R≥0
64R^2-16R+1-64R^2+12R≥0
R≤1/4
因此
S=1/2*√R
≤1/2*1/2
=1/4
即面积最大值是1/4

Answer 2

因为离心率e=2分之根号3
所以c/a=2分之根号3
即（a^2-b^2)/a^2=3/4
因为A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点
所以|AB|=根号（a^2+b^2)
因为M为AB的中点，O为坐标原点，且向量|OM|=2分之根号5.
所以|AB|=2|OM|=根号5.
即a^2+b^2=5
因此a^2=4 b^2=1
又a>b>0
所以a=2,b=1
因此椭圆的方程为x^2/4+y^2=1

（2）设过(-1，0)的直线L的方程是x+1=ky
则直线L与椭圆交于P、Q两点的纵坐标y1y2满足(k^2+4)y^2-2ky-3=0
所以y1+y2=2k/(k^2+4),y1y2=-3/(k^2+4)
则|y1-y2|=根号[（y1+y2）^2-4y1y2]=根号[(16k^2+48)/(k^2+4)^2]
POQ面积=(1/2)*1*|y1-y2|=1/2根号[(16k^2+48)/(k^2+4)^2]
=2根号(k^2+3)/(k^2+4) =2/[根号(k^2+3)+1/根号(k^2+3)]
因为根号(k^2+3)>=根号3>0
当k=0时[根号(k^2+3)+1/根号(k^2+3)]有最小值3分之4根号3，
即2/[根号(k^2+3)+1/根号(k^2+3)]有最大值2分之根号3
此时，直线L为x+1=0

Answer 3

1 x^2/a^2+y^2/b^2=1
可设 A(a,0),B(0,b).AB中点M(a/2.b/2)
OM|=1/2 根号下（a^2+b^2)=1/2 根号5
所以a^2+b^2=5 (1)
又离心率e=c/a=1/2 根号3
c^2/a^2=3/4 c^2=a^2-b^2
得a^2-b^2=3/4 a^2
b^2=1/4 a^2 带入 a^2+b^2=5
得5/4 a^2=5,a=2,进一步b^2=1/4 a^2=1,b=1
因此椭圆方程为 x^2/4+y^2=1
2 待叙

Answer 4

【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键；
(1)根据离心率为e= √3/2，|向量OM|=√5/2，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；
(2)方法一：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论；
方法二：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论。
【解答】
解：
(1)设椭圆的半焦距为c
则有：
a²=b²+c²
a²+b²=5
c/a=√3/2
解得：
a=2
b=1
c=√3
所以椭圆的方程为：(x²/4)+y²=1
(2)
【方法一】
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k(x+1)（k≠0），联立椭圆方程：(x²/4)+y²=1
得：(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0
两个根为x1，x2
x1+x2=-8k²/(4k²+1)
x1•x2=4(k²-1)/(4k²+1)
则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]（k≠0）
又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)
所以
S=(1/2)|PQ|•d
=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]
=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) （k≠0）
=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)
=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大；
【方法二】
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程(x²/4)+y²=1
得：(4+1/k²)y²-(2/k)y-3=0
两个根为y1，y2，△＞0恒成立
y1+y2=2k/(4k²+1)
y1•y2=-3k²/(4k²+1)
|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1•y2]=4√[(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)]
∴S△POQ=S△POT+S△QOT
=(1/2)×|OT|×(|y1|+|y2|)
=(1/2)×(|y1-y2|)
=(1/2)√[3-(8k²+3)/(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大。

Answer 5

(1)e=c/a=√3/2,a^2=b^2+c^2
a=2b————（1）
A(a,0),B(0,b),M(a/2,b/2)
|OM|^2=(a^2+b^2)/4=5/4
a^2+b^2=5————（2）
由（1）（2）得a^2=4,b^2=1
椭圆的方程：x^2/4+y^2=1
(2)直线斜率不存在时与椭圆的两交点P(-1,√3/2),Q(-1,-√3/2)
PQO的面积=√3/2
斜率为k 时设过(-1，0)的方程是y=k(x+1)
代入椭圆得
x^2/4+k^2(x+1)^2=1
(1/4+k^2)x^2+2k^2x+k^2-1=0
x1+x2=-2k^2/(1/4+k^2)
x1x2=(k^2-1)/(1/4+k^2)
PQ=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
原点到直线的距离为d=|k|/√(1+k^2)
所以S△POQ=1/2*d*PQ
=k/2*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
=k/2*√[(-2k^2/(1/4+k^2))^2-4(k^2-1)/(1/4+k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-4(k^2-1)(1/4+k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-(k^2-1)(1+4k^2)]
=k/(1/2+2k^2)*√[4k^4-k^2-4k^4+1+4k^2]
=k/(1/2+2k^2)*√(3k^2+1)
=1/2*√[k^2(3k^2+1)]/(1+4k^2)^2]
令k^2=t
R=[k^2(3k^2+1)]/(1+4k^2)^2
=t(3t+1)/(1+4t)^2
(1+4t)^2*R=t(3t+1)
整理得
(16R-3)t^2+(8R-1)t+R=0
由于k^2≥0且存在
所以△=(8R-1)^2-4*(16R-3)*R≥0
64R^2-16R+1-64R^2+12R≥0
R≤1/4
因此
S=1/2*√R
≤1/2*1/2
=1/4
即面积最大值是√3/2

Answer 6

。。。。。。打酱油