Question

y''＋3y＝2sinx特解或通解

Answer 1

齐次特征方程
r^2+3=0
r=±√3i
齐次通解y=C1cos(√3x)+C2sin(√3x)
设特解是y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入原方程得
-asinx-bcosx+3(asinx+bcosx)=2sinx
比较系数得
2a=2,b=0
a=1
特解是y=sinx
原方程的通解是y=C1cos(√3x)+C2sin(√3x)+sinx

Answer 2

齐次方程y''+3y=0的特征方程：r^2+3=0 r=根号3i or r=-根号3i
故以上通解：y=C1cos(根号3x)+C2sin(根号3x)
由于2sinx可写为：2sinxe^(0*x) 其中sinx的x系数1，e^(0*x)x系数0, 0+i不是特征方程的根。
故设特解：
y*=(acosx+bsinx)
y'=-asinx+bcosx
y''=-acosx-bsinx
代入原方程：
(-acosx-bsinx)+3(acosx+bsinx)=2sinx
(2acosx)+2bsinx=2sinx
a=0 b=1
y*=sinx
通解：y=C1cos(根号3x)+C2sin(根号3x)+sinx