Question

数学题，希望能有详解！谢谢！！

有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后，反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点，F是抛物线的焦点，求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S。

Answer 1

有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4，4）是入射点，过点P的切线设为Y=K（X-4）+4
与y²=4x只有一个交点，联立得Ky²-4y+16-16K=0
⊿=16-4K（16-16K）=0得K=1/2
所以切线方程为：Y=X/2+2
P（4，4）是入射点，切线Y=X/2+2是反射镜面，
根据入射角等于反射角，先在y=4上任取一点A（6，4）
关于切线Y=X/2+2的对称点为A‘（26/5，28/5）
则点A‘（26/5，28/5）必在其反射光线上，
由P（4，4）与A‘（26/5，28/5）两点式求出反射光线方程，
反射光线方程4X-3Y-4=0，弦PQ的斜率为4/3
反射光线方程4X-3Y-4=0与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4，-1）
|PQ|=25/4，原点到PQ的距离为4/5
△OPQ的面积S=1/2*4/5*25/4=5/2
思路过程肯定，答案不知对否，作参考，有问题可以问

另解：
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4，4）是入射点，
因为直线y=4平行于对称轴，根据焦点聚光的特点，其反射光线必定经过焦点F（1，0），
所以PQ是由PF所决定，PF的斜率为K=（4-0）/（4-1）=4/3
即弦PQ的斜率为4/3，PQ方程：Y=4（X-1）/3即：反射光线PQ方程为4X-3Y-4=0
与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4，-1）
则△OPQ的面积S=SOPF+SOQF=1/2*|OF|*（|Y1|+|Y2|）
=1/2*1*（1+4）=5/2

Answer 2

P(4, 4)

y²=4x, 2yy' = 4, y' = 2/y
过点P的切线斜率k = 2/4 = 1/2
过点P的法线斜率k' = -2
法线方程:y - 4 = -2(x - 4), y = -2x +12, 与轴的交点为A(6, 0)
A与入射光(y = 4)和反射光的距离相等, 前者为d = 4 - 0 = 4
设反射光的斜率为p, 方程: y - 4 = p(x - 4), px -y + 4(1- p) = 0
A和反射光的距离d' = d = 4 = |6p - 0 + 4(1 - p)|/√(p² + 1) = |2(p + 2)|/√(p² + 1)
平方整理得: 3p² - 4p = 0
p(3p - 4) = 0
k = 0 (入射光, 舍去)
k = 4/3
反射光方程: y = (4/3)(x - 1) (4x - 3y - 4= 0)

代入抛物线: (16/9)(x - 1)² = 4x
4x² - 17x + 4 = 0
(x - 4)(4x - 1) = 0
x = 4 (点P)
x = 1/4, y = (4/3)(1/4 - 1) = -1
Q(1/4, -1)
PQ = √[(4 - 1/4)² + (4 + 1)²] = 25/4
O与反射光的距离h = |-4|/√(4² + 3²) = 4/5
S = (1/2)*PQ*h = (1/2)*(25/4)*4/5
= 5/2

Answer 3

这是初中的还是，，哇，我还没学到呢，我才初一，(*^__^*) 嘻嘻……好难

追问

高二的

追答

下面的，你大一了还不回答，你不会？？O(∩_∩)O哈哈~

Answer 4

唉,高中啊,高考唉,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,还好我已经大一了~