Question

已知二次函数y=-1/4x²+3/2x+4的图像与y轴交于点A, 1,2问完整过程，很急，完整！谢谢

Answer 1

x=0时，y=4 , A(0,4)
y=0时，-1/4x^2+3/2x+4=0 x^2-6x-16=0 x=-2 or x=8
所以：B(-2,0) C(8,0)
tan(角ACB)=OA/OC=4/8=1/2
假如存在E，则一种情况是DE=EC
自E点向DC引垂线，垂足为F，则：EF垂直平分DC
由于BC=C点横坐标-B点横坐标=8-(-2)=10
D平分BC，所以DC=10/2=5
FC=1/2DC=5/2
所以：EF=FCtan（角ACB)=5/2*1/2=5/4
EF就是E点的纵坐标。E点横坐标=OF=BC-OB-FC=10-2-5/2=11/2
E(11/2,5/4)
所以存E。

（3）A（0,4) C(8,0) 设P(x, -1/x^2+3/2x+4)则：
从P向OC引垂线，垂足为G，则三角形ABC面积S
S=梯形AOGP+三角形PGC-三角形AOC
梯形AOGP面积=(AO+PG)*OG/2=(4-1/4x^2+3/2x+4)*x/2
三角形PGC面积=1/2PG*GC=1/2*(-1/4x^2+3/2x+4)*(8-x)
三角形AOC面积=1/2*4*8=16
S=(4-1/4x^2+3/2x+4)*x/2+1/2*(-1/4x^2+3/2x+4)*(8-x)-16
S=2x+(-1/4x^2+3/2x+4)*x/2+4(-1/4x^2+3/2x+4)-1/2x(-1/4x^2+3/2x+4)-16
S=2x-x^2+6x+16-16
S=-x^2+8x
有两个P点，即有两个x1,x2值对应，
x^2-8x+S=0
就是当S一定时，x有两个解。
即deta>0 deta=8^2-4S>0 4S<64
S<16
-4<S<4 由于S>0
所以0<S<4时，有两个P点。

Answer 2

解：（1）令x=0得，y=4.∴A（0,4）。
令y=-1/4x²+3/2x+4=0,整理得x²-6x-16=0∴x=-2或者8，∴B（-2,0）C（8,0）得D(3，0)
（2）存在E。OA=4，OC=8，AC=4根号5，sin∠ACO=根号5/5，cos∠ACO=4根号5/5,，tan∠ACO=1/2
若ED=EC，作EF⊥x轴于F，有CF=1/2CD=5/2，∴EF=tan∠ACO*CF=4/8*5/2=5/4,∴E(5.5，5/4)
若CE=CD=5，作EM⊥x轴于M，有EM=CE*sin∠ACO=根号5，CM=BE*cos∠ACO=4根号5，
OM=8-4根号5∴E(8-4根号5，根号5）
若DE=DC=5，作EN⊥x轴于N。CE=2CD*cos∠ACO=8根号5>AC,,,，舍去。
（3）∠∠∠∠

Answer 3

1)A在y轴上，横坐标x=0
y==-1/4x²+3/2x+4=4
A(0，4)
y=-1/4x²+3/2x+4=-1/4(x-8)(x+2)
B(-2,0) C(8,0) D(3,0)
2)(1)CD=8-3=5
AD=5
E1(4,0)
(2)AC的表达式易知是y=-1/2x+4
E2是CD的垂直平分线与AC的交点，其横坐标x=3+（8-3）/2=5.5=11/2
y=-1/2x+4=-1/2*5.5+4=5/4
E2(11/2,5/4)
(3)E3(X,-1/2X+4)
CE3=CD
(8-X)^2+(-1/2X+4)^2=25 0<x<8
X=8-2根号5
y=根号5
E3(8-2根号5,根号5)

Answer 4

解:

(1)

将x=0代入解析式得y=4

∴A(0,4)

抛物线解析式化为y=-¼(x²-6x-16)=-¼(x-8)(x+2)

当y=0时,x=8或x=-2

∴C(8,0)

 

(2)

易得D(3,0),CD=5

作EF⊥OC

由Rt△AOC易得tan∠C=½,sin∠C=√(5)/5,cos∠C=2√(5)/5

 

(i)当CD=CE=5时,如上图

EF=CE•sin∠C=√(5)

CF=CE•cos∠C=2√(5),

∴OF=OC-FC=8-2√(5)

∴E₁(8-2√(5),√(5))

 

(ii)当DE=CE时,如中图

EF=CF•tan∠C=5/4

OF=OC-CF=8-5/2=11/2

∴E₂(11/2,5/4)

 

(iii)当CD=DE时,如下图

作DG⊥AC

CG=CD•cos∠C=2√(5)

CE=2CG=4√(5)

∴EF=CE•sin∠C=4

CF=CE•cos∠C=8

OF=OC-CF=0

∴E₃(0,4)

综上E点坐标为:E₁(8-2√(5),√(5))或E₂(11/2,5/4)或E₃(0,4)

Answer 5

(1)
x=0 y=4
A(0,4)
-x²/4+3x/2+4=0
x²-6x-16=0
(x-8)(x+2)=0
x1=8 x2=-2
A(-2,0) C(8,0)
(2)
D[(8-2)/2,0] D(3,0)
AC方程
y/4=-(x-8)/8
y=-x/2+4
E(m,n) 0<m<8
n=-m/2+4
E(m,-m/2+4)
ED²=(m-3)²+(-m/2+4)²=5m²/4-10m+25
DC²=(8-3)²=5²
EC²=(m-8)²+(-m/2+4)²=5m²/4-20m+80
① ED=DC
5m²/4-10m+25=5²
5m²/4-10m=0
m=0 m=8(与C重合舍去)
E(0,4)
② ED=EC
5m²/4-10m+25=5m²/4-20m+80
m=5.5
E(5.5,1.25)
③ DC=EC
5m²/4-20m+80=5²
m²-16m+11=0
m=8±2√5 (m>8 舍去)
m=8-2√5
E(8-2√5,√5)
(3)
P(a,b) 0<x<8
b=-a²/4+3a/2+4
P到AC直线的距离d最大
S△PAC最大
AC方程x+2y-8=0
d=|a+2(-a²/4+3a/2+4)-8|/√(1+4)
=|a²-8a|/(2√5)
=|(a-4)²-16|/(2√5)
0<a<8
a=4 时 d=8√5/5
b=6
P(4,6)

Answer 6

（1）A（0,4），B（-2,0），C（8，0）
（2）∵D为二次函数的对称轴与x轴的交点
∴D（3，0），DC=5
∴AD=√﹙4²＋3²﹚=5
∴当E与A点重合时，△EDC为等腰三角形
直线AC的解析式为 y=﹣x/2＋4
若E的线段AC的中间，则ED=EC，DC为底边
DC的中点为（11/2，0）
设点E的坐标为（11/2，b）并代入 y=﹣x/2＋4，得
b=33/4
∴当点E在点（11/2,33/4）时，△EDC为等腰三角形
（3）设点P的坐标为（x1，y1），x1∈﹙﹣2,8﹚，则点P到AC的距离
d=︳x1/2＋y1－4︳/√﹙1/2²+1²﹚=︳x1＋2y1－8︳/√5
AC的长度为 √﹙AO²＋CO²﹚=4√5
∴△PAC的面积S=AC*d/2=2︳x1＋2y1－8︳=2︳x1＋2﹙﹣x1²/4＋3x1/2＋4﹚－8︳
=︳2x1﹣x1²＋6x1＋16－8︳=︳﹣x1²＋8x1＋8︳
=︳﹣﹙x1－4﹚²＋24︳
∴S²=[﹙x1－4﹚²－24]²=[﹙x1－4﹚²]²－48﹙x1－4﹚²＋24²
设t=﹙x1－4﹚²，则t∈﹙0，36﹚
∴S²=t²－48t＋24²=﹙t－24﹚²
∴当t∈﹙0,12﹚，即S∈﹙12,24﹚时，t只有1个
即点P有且只有2个