如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,点D在⊙O上,AD⊥AB于点A,AD与BC交于点E,F在DA
的延长线上,且AF=AE1)求证:BF是⊙O的切线2)若AD=4,cos<ABF=4:5,求BC的长...
的延长线上,且AF=AE 1)求证:BF是⊙O的切线 2)若AD=4,cos<ABF=4:5,求BC的长
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(1)证明:如图,连接BD,
∵AD⊥AB,
∴DB是⊙O的直径,
∴∠1+∠2+∠D=90°,
又∵AE=AF,
∴BE=BF,∠2=∠3,
∵AB=AC,
∴∠D=∠C=∠2=∠3,
∴∠1+∠2+∠3=90°,
即OB⊥BF于B,
∴直线BF是⊙O的切线;
(2)解:作AG⊥BC于点G,
∵∠D=∠2=∠3,
∴cosD=cos∠3=
在Rt△ABD中,∠DAB=90°,AD=4,cosD=,
∴BD=AD/cosD=5,
在Rt△ABC中,∠AGB=90°,AB=3,cos∠2= ,
∴BG=ABcos ∠2 =12/5,
∵AB=AC,
∴BC=2BG=。
∵AD⊥AB,
∴DB是⊙O的直径,
∴∠1+∠2+∠D=90°,
又∵AE=AF,
∴BE=BF,∠2=∠3,
∵AB=AC,
∴∠D=∠C=∠2=∠3,
∴∠1+∠2+∠3=90°,
即OB⊥BF于B,
∴直线BF是⊙O的切线;
(2)解:作AG⊥BC于点G,
∵∠D=∠2=∠3,
∴cosD=cos∠3=
在Rt△ABD中,∠DAB=90°,AD=4,cosD=,
∴BD=AD/cosD=5,
在Rt△ABC中,∠AGB=90°,AB=3,cos∠2= ,
∴BG=ABcos ∠2 =12/5,
∵AB=AC,
∴BC=2BG=。
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