Question

奥数难题，数论的，高手进

求所有的正整数对（m,n），m>=3,n>=3，使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2-1)的值是整数。
题肯定没错。只是比较难而已。在奥数题里面也算比较难的了。做了很久都做不出来

Answer 1

设f(x) = x^m+x-1, g(x) = x^n+x^2-1.
设多项式带余除法f(x) = g(x)q(x)+r(x), 余式r(x)为0或次数小于n.
注意由带余除法的步骤, 这里的q(x)与r(x)都是整系数多项式.
∵f(x)/g(x) = q(x)+r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值, 而q(x)总取整值,
∴r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值.
若r(x)非零, 由其次数小于g(x), 对x充分大, 总有0 < |r(x)| < |g(x)|, 比值不为整数.
至多只有有限个x使其为整数, 矛盾.
∴r(x) = 0, g(x) | f(x), m ≥ n.
∴g(x) | (x+1)f(x)-g(x) = x^(m+1)+x^m-x^n
又∵g(x)与x^n互素, ∴g(x) | x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
设h(x) = x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
∵h(x)不为零, g(x) | h(x), ∴m+1-n ≥ n, m ≥ 2n-1 ①.
由g(x) | h(x), g(x) = 0的所有解都是h(x) = 0的解.
注意到g(0) = -1, g(1) = 1, ∴存在b∈(0,1)使g(b) = 0, 于是也有h(b) = 0.
观察两个等式: b^n+b^2 = 1, b^(m-n+1)+b^(m-n) = 1.
∵0 < b < 1, m+1-n ≥ n, ∴b^(m-n+1) ≤ b^n, ∴b^(m-n) ≥ b^2, ∴m-n ≤ 2 ②.
综合①②得n+2 ≥ m ≥ 2n+1, 有n ≤ 3. 又由条件n ≥ 3, 故n = 3.
代回得5 ≥ m ≥ 5, 即m = 5.
最后, 易验证m = 5, n = 3时f(x)/g(x) = 1-x+x^2, (m,n) = (5,3)是满足要求的唯一解.

Answer 2

错的，很明显需要m>n