Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,丨φ丨<π/2)最大值3,最小值-1,相邻两对称轴

之间的距离为π/2，函数图象过点（0，√3+1） （1）求函数解析式 （2）求对称轴方程、单调增区间（3）将函数y=f（x）的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=g（x）函数图像，求函数y=g（x）的最大值，并求此时的x值

Answer 1

解：f(x)=Asin(ωx+φ)+b
显然最大值与最小值的差为2A=3-(-1)=4，故A=2，则由最大值为3得
3=A+b=2+b，解得b=1
相邻两对称轴之间的距离为π/2，也即其最小正周期为π/2，故有
T=2π/ω=π/2，解得ω=4
函数图象过点（0，√3+1），故
√3+1=2sinφ+1
sinφ=√3/2
因丨φ丨<π/2，故φ=π/3
（1）f(x)=2sin(4x+π/3)+1
（2）对称轴需满足4x+π/3=kπ+π/2，k∈Z
也即x=kπ/4+π/24，k∈Z
单调增区间需满足2kπ-π/2≤4x+π/3≤2kπ+π/2，k∈Z
也即kπ/2-5π/24≤x≤kπ/2+π/24，k∈Z
单增区间为[kπ/2-5π/24,kπ/2+π/24]，k∈Z
(3)函数y=f（x）的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=g（x），故
g(x)=f(x-π/6)=2sin[4(x-π/6)+π/3)+1=2sin(4x-π/3)+1
显然其最大值为2×1+1=3不变。此时
4x-π/3=2kπ+π/2，k∈Z
也即x=kπ/2+5π/24，k∈Z

Answer 2

解：f(x)=Asin(ωx+φ)+b
显然最大值与最小值的差为2A=3-(-1)=4，故A=2，则由最大值为3得
3=A+b=2+b，解得b=1
相邻两对称轴之间的距离为π/2，也即其最小正周期为π/2，故有
T=2π/ω=π/2，解得ω=4
函数图象过点（0，√3+1），故
√3+1=2sinφ+1
sinφ=√3/2
因丨φ丨<π/2，故φ=π/3
（1）f(x)=2sin(4x+π/3)+1
（2）对称轴需满足4x+π/3=kπ+π/2，k∈Z
也即x=kπ/4+π/24，k∈Z
单调增区间需满足2kπ-π/2≤4x+π/3≤2kπ+π/2，k∈Z
也即kπ/2-5π/24≤x≤kπ/2+π/24，k∈Z
单增区间为[kπ/2-5π/24,kπ/2+π/24]，k∈Z
(3)函数y=f（x）的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=g（x），故
g(x)=f(x-π/6)=2sin[4(x-π/6)+π/3)+1=2sin(4x-π/3)+1
显然其最大值为2×1+1=3不变。此时
4x-π/3=2kπ+π/2，k∈Z
也即x=kπ/2+5π/24，k∈Z