Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=-g(x)+n/g(x)+m 是奇函数． （1）确定y=g(x)

1）确定y=g(x). y= f(x)的解析式
2）判断y=f(x)在R上的单调性并用单调性定义正义
3）若方程f(x)=b在（-00.0）上有解，证-1＜3f(b)＜0

Answer 1

1)
因为y=g(x)是指数函数，故设g(x)=a^x(a>0,a≠1)
所以a^2=4，即：a=2，得g(x)=2^x。所以f(x)的表达式为：f(x)=-2^x+n/2^x+m
函数f(x)的定义域是R，又是奇函数，故在原点有定义，且f(0)=0
即：f(0)=-1+n+m=0，故m+n=1 (1)
很多人在做这类题目时，习惯用代入特殊点的方法求解m和n
不是不可以的，如果考试时间比较紧时，是可以用的，但本人建议用一般方法。
f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，即：-2^(-x)+n/2^(-x)+m=2^x-n/2^x-m，将(1)代入，
即：(2^x+2^(-x)-2)*n=2^x+2^(-x)-2，所以n=1，m=0
所以f(x)=-2^x+2^(-x)
2)
在R上任取x1<x2，f(x1)-f(x2)=2^(x2)-2^(x1)+2^(-x1)-2^(-x2)
=2^x2(1-2^(x1-x2))+2^(-x1)(1-2^(x1-x2)) (2)
因x1-x2<0，故2^(x1-x2)<1，故(2)式恒大于0，即：f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在R上是减函数。
3)
这一问有点问题呀，第一，区间(-00.0)是什么呢？是(-inf,0)?
如果是(-inf,0)，f(x)=b有解，说明0<b<+inf，所以-inf<f(b)<0
怎么可能有-1＜3f(b)＜0成立呢？