Question

一道中考数学题、求解

如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时AP/PB 的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD^2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

Answer 1

①∵△BPC、△APD均为等边三角形，∴BC=PC，∠BCP=∠CPB=60°，∠APD=60°
∴∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°
又∠CPD=180°-∠CPB-∠APD=60°，∴∠CDP=180°-∠PCD-∠CPD=90°
∴CD=CP*cos30°=√3/2*BC，
∴tanDBC=CD/BC=√3/2