Question

若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底

解释中为什么∴a,b,c不共面∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ，求解！！以下是解释

假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c
∵{a,b,c}为基底
∴a,b,c不共面
∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ
此方程组无解
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面

Answer 1

1、a,b,c为基底，所以a,b,c不共面。因为只有不共面的三个向量才能做基底。
2、如果a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)
因为解不出λ、μ，所以不存在λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面

追问

我是想问是怎么解出1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ这个答案的！！

追答

a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c移项可得

（1-μ）a+(1-λ)b-(λ＋μ)c=0
因为a,b,c可作为基地，不相关，所以每一项分别等于0，所以每一项的系数等于0，所以
1-μ=0

1-λ=0

λ＋μ=0

Answer 2

其实这个题目可以把{a＋b，b＋c，c＋a}的三个元素做对角线元，作矩阵，看秩是不是3，如果是3，那么就是基底。
你的那个做法也是可以的