Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

注意，菱形的对角线互相垂直平分。

BO垂直于AC，BO垂直于PA，所以BO（也就是BD）垂直于PAC。

三角形PAB是等腰直角三角形时，我们可以引OE//AB交PD于E。E就是PD的中点。在三角形COE中可以用余弦定理、求角EOC的余弦。

撇开PA=2，当平面PBC与平面PDC垂直时，可以过B引PC的垂线交PC于F。然后再处理。

Answer 2

分析：（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB与AC所成的角为θ，则θ可转化为PB与AC所成的角，代入公式COSθ=|PB•AC|PB||AC||可求
（III）分别求平面PBC的法向量m=(3，3，6t)，平面PDC的法向量n=(-3，3，6t)
由平面PBC⊥平面PDC可得m•n=0从而可求t即PA
解答：解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=3，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则
P（0，-3，2），A（0，-3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）
所以PB=(1，3，-2)，AC=(0，23，0)
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|PB•AC|PB||AC||=622×23=64
（III）由（II）知BC=(-1，3，0)，设P(0，-3，t)(t＞0)，
则BP=(-1，-3，t)
设平面PBC的法向量m=（x，y，z）
则BC•m=0 BP•m=0，
所以-x+3y=0-x+3y+tz=0令y=3，则x=3，z=6t，
平面PBC的法向量所以m=(3，3，6t)，
同理平面PDC的法向量n=(-3，3，6t)，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以m•n=0，即-6+36t2=0，解得t=6，
所以PA=6．
点评：本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
希望能帮到你O(∩_∩)O~