Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1,0）C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M到A的距离与到C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，直接写出使∠PCB=90°的点P坐标
（4）点N为抛物线上第四象限内一动点，，且使四边形OCNB面积最大时N点的坐标。

Answer 1

解：1.将C代入可得c=-3，对称轴x=-b/2a=1，所以b=-2a
将A点、c=-3、b=-2a代入方程，解得a=1，b=-2
即该抛物线解析式为y=x²-2x-3
2.做c点关于对称轴x=1的对称点，C'（2，-3）
连结C'A得直线：y=-x-1，该直线与对称轴x=1交点即为M
所以M（1，-2）
3.P（1，-4）
4.设N（x，y)---(0<x<3，-4<y<0)，则S四边形OCNB=（3-y)x/2-y(3-x)/2=3(x-y)/2
S最大时，x-y最大，所以x-y=-x²+3x+3=-(x-3/2)²+21/4
所以（x-y)max=21/4，此时x=3/2，即N（3/2，-15/4)

Answer 2

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），由于抛物线经过C（0，-3），
则有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；

（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，
那么M点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，
则有：3k-3=0，k=1；
∴直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；
∵OB=OC=3，
∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，
∴P（1，-4）．

Answer 3

楼主在吗？