Question

高数不定积分的基本积分法，为什么划线的两个式子相等呢？？？

Answer 1

用第二换元法解。这个基本上是个公式了，最好记下。
∫ dx/√(a^2 + x^2)、令x = a·tany、dx = a·sec^2y dy
√(a^2 + x^2) = √(a^2 + a^2·tan^2y) = √(a^2·sec^2y) = a·secy
= ∫ (a·sec^2y dy)/(a·secy)
= ∫ secy dy
= ∫ secy·(secy + tany)/(secy + tany) dy
= ∫ (sec^2y + secytany)/(secy + tany) dy
= ∫ d(secy + tany)/(secy + tany)、(tany)' = sec^2y、(secy)' = secytany
= ln|secy + tany| + C
= ln|√(a^2 + x^2)/a + x/a| + D
= ln|x + √(a^2 + x^2)| + C、[C = D - ln|a| 为常数]

即∫ dx/√(a^2 + x^2) = ln|x + √(a^2 + x^2)| + C