Question

计算XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域为底，以曲面Z=X^2+Y^2为顶的曲顶柱体的体积

Answer 1

体积为3a^4/32。

解析如下：

柱体的体积=2∫（0,π/2）dθ∫（0,acosθ）r^3dr

=1/2∫（0,π/2）(acosθ)^4dθ

=a^4/2∫（0,π/2）(acosθ)^4dθ

=a^4/8∫（0,π/2）[1+2cos（2θ）+cos²（2θ）]dθ

=a^4/8∫（0,π/2）[3/2+2cos（2θ）+cos(4θ)/2]dθ

=a^4/8[3θ/2+sin（2θ）+sin(4θ)/8]|（0,π/2）

=a^4/8(3π/4+0+0)

=3a^4/32

扩展资料：    

柱体可分圆柱，棱柱。柱体体积计算公式V=Sh（V为柱体体积，S为底面面积，h为柱体的高）。

1、圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。圆柱的两个完全相同的圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面的对应点之间的距离叫做高（高有无数条）。它的特征如下：

（1）圆柱的底面都是圆，并且大小一样。

（2）圆柱两个面之间的垂直距离叫做高，把圆柱的侧面打开，得到一个矩形，这个矩形的一条边就是圆柱的底面周长。

2、棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指两个平行的平面被三个或以上的平面所垂直截得的封闭几何体。若用于截平行平面的平面数为n，那么该棱柱便称为n-棱柱。如三棱柱就是由两个平行的平面被三个平面所垂直截得的封闭几何体。棱柱的性质如下：

（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。

（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

（4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

Answer 2

XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域是一个圆，如果不加附件条件的话，加上Z坐标，空间图形就是一个圆柱。

现在加上一个条件Z=X^2+Y^2，则我们可得Z=aX，则空间图形在X0Z平面上是一条直线。

综上可知，这个空间图像的俯视图为一个直径为a的圆，而正视图为一个直角低为a，直角高为a^2的直角三角形。明显这个曲顶柱体为一个底面积为(πa^2)/4，高为a^2的圆柱体的一半（被斜切剩下一半）。

所以体积为：(1/2)*底面积*高=(1/2)*[(πa^2)/4]*a^2=πa^4)/8