Question

已知p点在抛物线y2=4x上，求点p到直线x+4y-18=0与点p到y轴的距离之和取得最小值，以及此时点p的坐标

已知p点在抛物线y2=4x上，求点p到直线x+4y-18=0与点p到y轴的距离之和取得最小值，以及此时点p的坐标
不要抄没法做出来的方法！！！

Answer 1

如图，抛物线焦点为 F（1，0），设P、F 在直线 x+4y-18=0 上的射影分别为 P1、F1 ，

根据抛物线定义，P 到 y 轴的距离=P 到准线( x= -1 )的距离减 1 =PF-1 ，

所以，P 到 y 轴的距离+P到直线 x+4y-18=0 的距离

         =PF-1+PP1

         >=FF1-1

         =|1-18|/√(1+16)-1

         =√17-1 ，

也即距离之和最小为 √17-1 ，当 P、F、F1共线时达最小，

此时 P 坐标满足 y^2=4x ，且 y=4(x-1) ，

解方程组得 P 坐标为（(9+√17)/8，(1+√17)/2）。

Answer 2

根据抛物线y²=4x，可知道P点在一象限或四象限。

P(m²/4，m)在抛物线y²=4x上，它到y轴的距离h=y²/4，现在主要是求P到直线的距离l。

与直线y=-0.25x+4.5【即x+4y-18=0】相互垂直的直线斜率k=4，假设垂线方程为：y=4x+b。而过P点的直线方程就是：y=4x+m-m²。这条直线与y=-0.25x+4.5的交点为B的横坐标x=(4.5+m²-m)/4.25，纵坐标y=4.5-(4.5+m²-m)/17。

BP²=l²=[(4.5+m²-m)/4.25-m²/4]²+[4.5-(4.5+m²-m)/17-m]²

Py+BP的最小值d+l通过上式可求