Question

在锐角三角形ABC中,角ACB等于45,AB=1,分别以AB为直角顶点,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和BCF

在分别过点EF作边AB所在的直线的垂线，垂足为MN,求：ABC面积的最大值 ABC面积最大时，直线MN上找点p，EP+FP值最小

Answer 1

根据余弦定理有AC²+BC²-AB²=2*AC*BC*cos角ACB
∵角ACB等于45,AB=1
∴AC²+BC²-√2*AC*BC=1
∵AC²+BC²≥2*AC*BC
∴（2-√2）*AC*BC≤1
即AC*BC≤1+1/√2
ABC面积=1/2*AC*BC*sin角ACB≤（1+√2）/4
当AC=BC时，ABC面积的最大值为（1+√2）/4
作E关于MN的对称点E‘，连E’F与MN的交点P，使EP+FP值最小。

Answer 2

C
C

C

A B

在以上所有以AB为弦的三角形中，其所对应圆周角都为45度，面积最大者为以AB为底边的等腰三角形。因为它的高最长。

过A作AH垂直BC于H,设AH=x,则AC=√2x
三角形ABC面积=½×√2x·x
因为AC=AB=√2x
所以BH=√2x--x
BH=√1--x2
所以√1--x2=√2x--x
解得x2=½(2+√2)
所以，三角形最大面积为¼（√2+1）