Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过点M(2,1),o为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆于C

1 ,求椭圆C的方程 2，证明：若直线MA,MB的斜率分别为k1，k2，求证，k1+k2=0

Answer 1

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),
离心率为根号3/2,
过点M(2,1),
则,{ a^2=b^2+c^2
c/a=根号3/2
4/a^2+1/b^2=1
解得a^2=8,b^2=2
所以,椭圆方程为x^2/8+y^2/2=1

第二题意思不清,A,B两点是不是直线l与椭圆的交点?
直线l∥OM,OM斜率为1/2
设直线l的方程为y=1/2x+p,
代入椭圆方程,得x^2+2px+2p^2-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则,x1+x2=-2p,x1*x2=2p^2-4,
直线MA,MB的斜率分别为k1，k2.
则,k1=(y1-1)/(x1-2),k2=(y2-1)/(x2-2)
k1+k2
=(y1-1)/(x1-2)+(y2-1)/(x2-2)
=(1/2x1+p-1)/(x1-2)+(1/2x2+p-1)/(x2-2)
=[x1*x2+(x1+x2)*(p-2)-4p+4]/[(x1-2)(x2-2)]
=[2p^2-4+(-2p)*(p-2)-4p+4]/[(x1-2)(x2-2)]
=0

Answer 2

c/a=√3/2 c²=3a²/4
a²=b²+c²=b²+3a²/4 a²=4b²
椭圆方程为 x²/a²+4y²/a²=1
将点M(2,1)代入方程, 4/a²+4/a²=1 解得a²=8
椭圆方程为: x²/8+y²/2=1
kom=(1-0)/(2-0)=1/2
设直线l方程 y=1/2x+b, 代入椭圆方程
x²/8+(1/2x+b)²/2=1 化简得,

x²+2bx+2b²-4=0
x1+x2=-2b x1x2=2b²-4
设A(x1,1/2x1+b),B(x2,1/2x2+b)
k1=(1/2x1+b-1)/(x1-2) k2=(1/2x2+b-1)/(x2-2)
k1+k2通分后分母
=(x2-2)(1/2x1+b-1)+(1/2x2+b-1)(x1-2)
=x1x2+(b-2)(x1+x2)+4-4b
=2b²-4+(b-2)(-2b)+4-4b
=2b²-4-2b²-4b+4-2b
=0

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