Question

已知向量a=(根号3sinx,cosx),向量b=(sinx,cosx),设函数f(x)=2乘以向量a乘以向量b+2m-1（x,m属于R）

（1）求f(x)关于x的表达式，并求出f(x)的最小正周期
（2）若x属于[0，π/2]时，f(x)的最小值为5，求m的值

请给出相关详细的步骤，谢谢

Answer 1

第一个问题：
∵向量a＝（√3sinx，cosx）、向量b＝（sinx，cosx），
∴f（x）
＝2向量a·向量b＋2m－1＝2√3（sinx）^2＋（cosx）^2＋2m－1＝（2√3－1）（sinx）^2＋2m
＝［（2√3－1）/2］（1－cos2x）＋2m＝（2√3＋4m－1）/2－［（2√3－1）/2］cos2x。
∴f（x）＝（2√3＋4m－1）/2－［（2√3－1）/2］cos2x。

第二个问题：
∵g（x）＝cos2x的最小正周期是π，∴f（x）的最小正周期是π。

第三个问题：
∵f（x）＝（2√3＋4m－1）/2－［（2√3－1）/2］cos2x，
∴在区间［0，π/2］上，f（x）的最小值＝（2√3＋4m－1）/2－［（2√3－1）/2］＝5，
∴2m＝5，∴m＝5/2。

Answer 2

f(x)=2[
√3
(sinx)^2+(cosx)^2]+2m-1
=2[√3(1-cos2x)/2+(1+cos2x)/2]+2m-1
=√3(1-cos2x)+(1+cos2x)+2m-1
=(1-√3)cos2x+1+√3+2m-1
f(x)=(1-√3)cos2x+1+√3+2m-1
f(x)的最小正周期为π；
当x=0时cos2x有最大值1，所以（1-√3)cos2x有最小值1-√3
而最小值为5，所以
1-√3+1+√3+2m-1=5
m=2
m的值为2.