Question

已知数列an的前n项和为Sn,且1/S₁+1/S₂+...+1/Sn=n/n+1（n属于N*）

1：求S₁、S₂、Sn
2：设bn（n为项数）=（1/2）ˆan（n为项数），数列bn的前n项和为Tn（n为项数），若对一切n属于N*均有Tn（n为项数）属于（1/m，m²-6m+16/3），求实数m取值范围！

Answer 1

1.
n=1时，1/S1=1/(1+1)=1/2 S1=2
n=2时，1/S1+1/S2=1/2 +1/S2=2/3
1/S2=2/3-1/2=1/6 S2=6

n=1时，S1=2
n≥2时，
1/S1+1/S2+...+1/Sn=n/(n+1) (1)
1/S1+1/S2+...+1/S(n-1)=(n-1)/n (2)
(1)-(2)
1/Sn=n/(n+1)-(n-1)/n=[n²-(n+1)(n-1)]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/(n²+n)
Sn=n²+n
n=1时，S1=1²+1=2，同样满足。
数列{Sn}的通项公式为Sn=n²+n。
2.
n=1时，a1=S1=1+1=2
n≥2时，Sn=n²+n S(n-1)=(n-1)²+(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n
n=1时，a1=2，同样满足
数列{an}的通项公式为an=2n
bn=(1/2)^(an)=(1/2)^(2n)=(1/4)ⁿ
b1=1/4 b(n+1)/bn=[1/4^(n+1)]/(1/4ⁿ)=1/4，为定值。
数列{bn}是以1/4为首项，1/4为公比的等比数列。
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/4)×[1-(1/4)ⁿ]/(1-1/4)
=(1/3)(1-1/4ⁿ)
=1/3 -1/(3×4ⁿ)
随n增大，4ⁿ单调递增，3×4ⁿ单调递增，1/(3×4ⁿ)单调递减，1/3-1/(3×4ⁿ)单调递增，当n=1时，1/3 -1/(3×4ⁿ)有最小值1/3 -1/12=1/4，又1/(3×4ⁿ)>0 1/3-1/(3×4ⁿ)<1/3
综上，得1/4<Tn<1/3，要Tn∈(1/m，m²-6m+16/3)，则
1/m≤1/4 m²-6m+16/3≥1/3
1/m≤1/4 m≥4或m<0
m²-6m+16/3≥1/3 m²-6m+5≥0
(m-2)(m-3)≥0
m≥3或m≤2
综上，得m≥4或m<0