Question

已知函数f﹙x﹚＝㏒2[﹙a－1﹚x²＋﹙a－1﹚x＋1／4]

已知函数f﹙x﹚＝㏒2[﹙a－1﹚x²＋﹙a－1﹚x＋1／4]

﹙1﹚若f﹙x﹚的定义域为R，求实数a的取值范围

﹙2﹚若f﹙x﹚的值域为R，求实数a的取值范围

这个题目的意思是什么啊 讲解清楚一些~3Q!~

Answer 1

1.
定义域为R，即无论x取何实数，(a-1)x²+(a-1)x+1/4恒>0
a=1时，(a-1)x²+(a-1)x+1/4=1/4>0，满足题意。
a≠1时，
对于抛物线y=(a-1)x²+(a-1)x+1/4，二次项系数a-1>0，一元二次方程(a-1)x²+(a-1)x+1/4判别式<0
a-1>0 a>1
(a-1)²-4(a-1)(1/4)<0
(a-1)²-(a-1)<0
(a-1)(a-2)<0
1<a<2
综上，得1≤a<2
2.
f(x)的值域为R，即在x的定义域上，(a-1)x²+(a-1)x+1/4能够取到(0，+∞)的任意值。
a=1时，f(x)=log2(1/4)=-2，仅有一值，不满足题意，因此a≠1。
对于抛物线y=(a-1)x²+(a-1)x+1/4，二次项系数a-1>0，一元二次方程(a-1)x²+(a-1)x+1/4判别式≥0
a-1>0 a>1
判别式≥0 (a-1)(a-2)≥0
a≥2或a≤1
综上，得a≥2。

Answer 2

令g(x)=(a-1)x²+(a-1)x+(1/4)
1)
a-1=0即a=1时
g(x)=1/4>0成立
a-1≠0即a≠1时
要使g(x)>0在R上恒成立
即使a-1>0
△=(a-1)²-(a-1)<0
1<a<2
2)
要使f﹙x﹚＝㏒2[﹙a－1﹚x²＋﹙a－1﹚x＋1／4]的值域为R
即使g(x)能取到任何数
a-1>0
△=(a-1)²-(a-1)≥0