Question

一道初中数学压轴题，急求各位高人求解！（问题在下方）

已知等腰直角三角形ABC，O为斜边AB中点，作等腰直角三角形OEF。若MK=5，AC=12，CM＜CK，且BE-BF=(√2/2)AB的结论可以直接使用，求EF的长。
大家不要说风凉话，明天就2013了，真的很急啊

Answer 1

解：过点O作OH垂直AC于H,，连接OC
因为三角形ABC是等腰直角三角形
O是AB的中点
所以AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2
OC=OA=OB
角ABC=角OCM=45度
角AOC=90度
所以三角形OAC的等腰直角三角形
所以OH是等腰直角三角形OAC的垂线
所以OH是等腰直角三角形AOC的中垂线
所以CH=1/2AC
角OHM=90度
因为AC=12
所以CH=6
AB=12倍根号2
因为BE-BF=根号2/2AB
AB=BC+CE
所以CE=BR
因为三角形OEF是等腰直角三角形
所以OE=OF
EF^2=OE^2+OF^2=2OE^2
所以角ABC=角OFE=45度
所以E,O,B,F四点共圆
所以角EOF=角EBF
所以角NBF=90度
角ACB+角EOF=180度
所以C,M,O,N四点共圆
所以角OMC=角ONB
因为角OCM=角ABC=45度
因为OC=OB
所以三角形OCM和三角形OBN全等（AAS)
所以OM=ON
OE=OM+ME
OF=ON+NF
所以ME=NF
因为角ACB+角MCE=180度
所以角MCE=角NBF=90度
因为CE=BF（已证）
所以直角三角形MCE和直角三角形NBF全等（HL)
所以CM=BN
因为ME=MF（已证）
角OEF=角OFE=45度（已证）
因为EF=EF
所以三角形MEF和三角形NEF全等（SAS)
所以MF=NE
角KEF=角KFE
所以EK=FK
因为EN=EK+NK
MF=FK+MK
所以MK=NK
在直角三角形MCK中，角MCK=90度
由勾股定理得：
MK^2=MC^2+CK^2
MK=5
所以MC^2+(12-5-MC)^2=5^2
所以MC=3 MC=4（舍去）
所以MH=CH-M=6-3=3
所以MH=CM
因为角OHM=角MCE=90度
角OMH=角EMC
所以三角形OMH和三角形EMC全等（ASA)
所以OM=ME=1/2OE
因为角OHM+角ACB=180度
所以OH平行BC
所以OA/AB=OH/BC=1/2
所以OH=6
在直角三角形OHM中，角OHM=90度
由勾股定理得：
OM^2=OH^2+MH^2=3^2+6^2=45
所以OM=3倍根号5
所以OE=6倍根号5
所以EF=6倍根号10

Answer 2

连接OC
过点F，作FH⊥AB，交AB的延长线于点H
∵△ABC和△OEF为等腰Rt△
∴∠A=∠CAB=45°，AC=CB=12
∠OEF=∠OFE=45°，OE=OF
∠ACB=∠EOF=90°
∴∠ECM=180°－90°=90°
由勾股定理：AB=12√2
在Rt△ABC中，
∵sin45°=BC：AB
∴BC=AB·sin45°=(√2/2)AB
∵BE－BF=(√2/2)AB
∴BC=BE－BF
又∵BC=BE－EC
∴BF=EC
在Rt△ABC中，
∵CO是斜边AB的中线
∴OC=OA=OB=1/2AB=6√2
CO平分∠ACB，CO⊥AB
(三线合一)
∴∠COB=90°
∵∠EOC+∠COF=90°
∠COF+∠FOB=90°
∴∠EOC=∠FOB
在△EOC和△EOB中
∵EC=FB,∠EOC=∠FOB,OC=OB
∴△EOC≌△EOB(SAS)
∴∠MEC=∠NFB
∵CO平分∠ACB
∴∠MCO＝1/2∠ACB=45°
∵∠MOC+∠CON=90°
∠CON+∠NOB=90°
∴∠MOC=∠NOB
在△MOC和△NOB中
∵∠MOC=∠NOB，OC=OB，∠MCO=∠NBO=45°
∴△MOC≌△NOB(ASA)
∴MC=NB，∠CMO=∠BNO
∴AC－MC=BC－NB
即：AM=NC
∵∠CMO+∠CME=180°
∠BNO+∠BNF=180°
∴∠CME=∠BNF
在△EMC和△FNB中
∵∠CME=∠BNF，∠MEC=∠NFB，EC=FB
∴△EMC≌△FNB(AAS)
∴EM=FN，∠FBN=∠ECM=90°
∴∠FBH=180°－90°－45°=45°
在△EMF和△FNE中
∵EM=FN，∠OEF=∠OFE=45°，EF=FE
∴△EMF≌△FNE(SAS)
∴MF=FN，∠EFM=∠FEN
∵∠EFM=∠FEN
∴KE=KF(等角对等边)
∴FN－KE=MF－KF
即：NK=MK=5
设MC=NB=x
则AM=NC=12－x
∴CK=CN－KN=12－x－5=7－x
在Rt△CMK中
∵CM²+CK²=MK²
∴x²+(7－x)²=5²
化简得：x²－7x+12=0
解得：x1=3，x2=4
∵CM＜CK
∴CM=NB=3，CK=4，AM=BK=8
∵∠MCK=∠FBK=90°，∠CKM=∠BKF
∴△CKM∽△BKF
∴CK：BK=CM：BF
即：4：8=3：BF
∴BF=6
在Rt△BFH中
∵sin45°=FH：FB
∴FH=FB·sin45°=6×(√2/2)=3√2
∴BH=FH=3√2
∴OH=OB+BH=6√2+3√2=9√2
在Rt△OFH中
∵OH²+HF²=OF²
∴OF²=(9√2)²+(3√2)²
∴OF=6√5
在Rt△OEF中
∵sin45°=OF：EF
∴EF=OF/sin45°=6√5/(√2/2)=6√10

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Answer 3

因为D是斜边上的中点,所以AD垂直平分BC,
因此也平分等腰直角三角形ABC.即∠DAC=45,AD=DC,S△ADC=1/2*S△ABC
因为∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠EDA=90,所以∠FDC=∠EDA,因此△ADE≌△CDF,则AE=5,AF=12
因为S△ADC=S△ADF+S△CDF=S△ADF+S△ADE=SAEDF
则S△DEF=SAEDF-△AEF=S△ADC-△AEF
=1/2*S△ABC-△AEF
=1/2*1/2*17*17-1/2*5*12=42.25
解：过点O作OH垂直AC于H,，连接OC
因为三角形ABC是等腰直角三角形
O是AB的中点
所以AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2
OC=OA=OB
角ABC=角OCM=45度
角AOC=90度
所以三角形OAC的等腰直角三角形
所以OH是等腰直角三角形OAC的垂线
所以OH是等腰直角三角形AOC的中垂线
所以CH=1/2AC
角OHM=90度
因为AC=12
所以CH=6
AB=12倍根号2
因为BE-BF=根号2/2AB
AB=BC+CE
所以CE=BR
因为三角形OEF是等腰直角三角形
所以OE=OF
EF^2=OE^2+OF^2=2OE^2
所以角ABC=角OFE=45度
所以E,O,B,F四点共圆
所以角EOF=角EBF
所以角NBF=90度
角ACB+角EOF=180度
所以C,M,O,N四点共圆
所以角OMC=角ONB
因为角OCM=角ABC=45度
因为OC=OB
所以三角形OCM和三角形OBN全等（AAS)
所以OM=ON
OE=OM+ME
OF=ON+NF
所以ME=NF
因为角ACB+角MCE=180度
所以角MCE=角NBF=90度
因为CE=BF（已证）
所以直角三角形MCE和直角三角形NBF全等（HL)
所以CM=BN
因为ME=MF（已证）
角OEF=角OFE=45度（已证）
因为EF=EF
所以三角形MEF和三角形NEF全等（SAS)
所以MF=NE
角KEF=角KFE
所以EK=FK
因为EN=EK+NK
MF=FK+MK
所以MK=NK
在直角三角形MCK中，角MCK=90度
由勾股定理得：
MK^2=MC^2+CK^2
MK=5
所以MC^2+(12-5-MC)^2=5^2
所以MC=3 MC=4（舍去）
所以MH=CH-M=6-3=3
所以MH=CM
因为角OHM=角MCE=90度
角OMH=角EMC
所以三角形OMH和三角形EMC全等（ASA)
所以OM=ME=1/2OE
因为角OHM+角ACB=180度
所以OH平行BC
所以OA/AB=OH/BC=1/2
所以OH=6
在直角三角形OHM中，角OHM=90度
由勾股定理得：
OM^2=OH^2+MH^2=3^2+6^2=45
所以OM=3倍根号5
所以OE=6倍根号5
所以EF=6倍根号10

Answer 4

解：感觉好像等于6√10
过点O作OG垂直于AC.G为垂足。并且连接OC和OK。 首先可以求出OA=OB=6√2.。AG=OG=6.。三角形OMC全等与三角形ONB。三角形OCE全等与三角形OBF.三角形EFM全等与三角形FEN。最终去证明三角形OKM全等于三角形OKN.则MK=MN=5.。。。.设CM=X则CK=7-X.。。在利用勾股定理可以求出X=3或4 ，.把4舍去。所以MG=3.。三角形CEM全等于三角形GOM.则ME=MO=6√5..。最后在利用勾股定理求出EF=6√10

Answer 5

貌似6根号10

Answer 6

答案是18.97