Question

定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x都有f( x -1)=f(4 - x),且f( x)= x, x∈（0,3/2),则f(2012) - f(2010)等

则f(2012) - f(2010)等于？
请说明具体解答过程。。。

为什么是关于x=1.5对称？为什么周期是6？

Answer 1

定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x都有f( x -1)=f(4 - x),且f( x)= x, x∈（0,3/2),则f(2012) - f(2010)等于？
解析：∵定义在R上的奇函数f(x)，满足对任意x都有f( x -1)=f(4 - x)
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0
令x=x+1代入得f(x)=f(3-x)
令x=x+3代入得f(x+3)=f(-x)=-f(x)
f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
∴函数f(x)是最小正周期为6的周期函数
f(2012)=f(2+335*6)=f(2)
f(2010)=f(0+335*6)=f(0)
∵f( x)= x, x∈（0,3/2)
∵若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
∴4|0-b|=6==>b=3/2
∴函数y=f(x)图像既关于点(0,0)成中心对称又关于直线x=3/2成轴对称
∴当x∈(3/2,3)时，f(x)=f(3-x)=3-x
∵f(2)=3-2=1
∴f(2012) - f(2010)=f(2)-f(0)=2-0=2